Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Vectoren: inwendig en uitwendig product
Grootte
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Eenheidsvector
û = a/|a|
Componenten uit een hoek
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Inwendig product
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b
a·b/|b|
Arbeid
W = F·d
Uitwendig product
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Oppervlakken
parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O
MO = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum
V = |a·(b × c)|
Methode
Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.
Oplegreacties van balken
Evenwicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Moment
M = F·d
Methode
Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣFy = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.
Vakwerk: knopenmethode
Knopenmethode
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Snedemethode
ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht
positief = trek, negatief = druk
Methode
Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣFx = 0 en ΣFy = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.
Raamwerken en machines
Evenwicht van elke staaf
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf
kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht
gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht
F = √(Fx² + Fy²)
Hefboom, tang, hoekhefboom
Fin·a = Fout·b
Kniehefboom
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Methode
Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣFx = 0 en ΣFy = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.
Dwarskracht en buigend moment
Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8
Methode
Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.
Zwaartepunt en traagheidsmoment
Zwaartepunt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechthoek
I = bh³/12
Stelling van Steiner
I = Ic + A·d²
Samengestelde doorsnede
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Oefenopgaven
1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld
Bepaal de scalaire projectie compb a van a = (4, 3, −5) op b = (−5, −6, −1), dat wil zeggen de component van a in de richting van b.
a = (4, 3, −5)b = (−5, −6, −1)
compb a =
2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk
Bepaal het volume V van het parallellepipedum waarvan de ribben vanuit één hoekpunt a = (0, 2, 4), b = (−1, −1, −5) en c = (5, 5, −1) zijn.
a = (0, 2, 4)b = (−1, −1, −5)c = (5, 5, −1)
V =
3.Oplegreacties van balkenGemiddeld
De balk heeft een scharnier in A en een rol in B, op 2,5 m van A, en steekt voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Vind de verticale reactie RA, met omhoog positief.
AB = 2,5 mAC = 4 mP1 = 30 kN op 1 mP2 = 80 kN op 4 m
RA = kN
4.Oplegreacties van balkenMoeilijk
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RA.
L = 5 mP = 50 kN op 2,5 mw = 2 kN/m van 3 tot 5 m
RA = kN
5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld
Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.
F: 15 kN ↓G: 20 kN ↓H: 10 kN ↓
1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf BG
13staaf DG
6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk
Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.
D: 25 kN ↓F: 15 kN →G: 15 kN ↓H: 20 kN ↓
1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf FC
13staaf HC
7.Raamwerken en machinesGemiddeld
In de getoonde kniehefboomklem zijn twee gelijke schakels AB en BC in B scharnierend verbonden, en elk maakt 25° met de lijn AC. In B wordt een neerwaartse kracht van 150 N uitgeoefend. De schuif C drukt op een werkstuk. Bepaal, zonder wrijving en gewichten, de horizontale klemkracht Q.
F = 150 Nθ = 25°
Q = N
8.Raamwerken en machinesMoeilijk
Een kniehefboompers heeft twee gelijke schakels AB en BC, elk 100 mm lang tussen de scharnierpunten. Het gewricht B zit 8 mm boven de lijn AC. Welke neerwaartse kracht F in B levert een horizontale perskracht van 3000 N op de schuif C? Verwaarloos wrijving en gewichten.
Q = 3000 NAB = BC = 100 mmh = 8 mm
F = N
9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
De vrij opgelegde balk draagt twee puntlasten. Vind het maximale buigend moment Mmax in de balk.
L = 8 mP1 = 60 kN op 1 mP2 = 20 kN op 5 m
Mmax = kN·m
10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.
15 kN @ 0 m20 kN @ 12 m20 kN @ 6 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld
Vind het traagheidsmoment Ix van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.
bf = 200 mmtf = 20 mmtw = 14 mmhw = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk
Een plaat van 150 mm × 240 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 30 mm breed en 40 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 144 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment Ix om de horizontale as door het zwaartepunt.
b = 150 mmh = 240 mmuitsparing: 30 × 40 mmmiddelpunt van het gat: y = 144 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Oplossingen
1.Vectoren: inwendig en uitwendig product
Antwoord: compb a = −4,191
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Inwendig product
a·b = 4·(−5) + 3·(−6) + (−5)·(−1) = −33
Lengte van b
|b| = √((−5)² + (−6)² + (−1)²) = 7,874
Scalaire projectie
compb a = a·b/|b| = −33/7,874 = −4,191
Antwoord
compb a = −4,191
Negatief: a heeft een component die tegen b in wijst.
2.Vectoren: inwendig en uitwendig product
Antwoord: V = 52
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Uitwendig product b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = (−1)·(−1) − (−5)·5 = 26
(b × c)y = bzcx − bxcz = (−5)·5 − (−1)·(−1) = −26
(b × c)z = bxcy − bycx = (−1)·5 − (−1)·5 = 0
Inwendig product met a
a·(b × c) = 0·26 + 2·(−26) + 4·0 = −52
V = |−52| = 52
Antwoord
V = 52
3.Oplegreacties van balken
Antwoord: RA = −30 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.
Momenten om A
Linksom positief.
ΣMA = 0: RB·2,5 = 30·1 + 80·4
RB = 350/2,5 = 140 kN
Verticaal evenwicht
RA = 30 + 80 − 140 = −30 kN
Antwoord
RA = −30 kN
RA is negatief: het scharnier in A moet de balk naar beneden houden.
4.Oplegreacties van balken
Antwoord: RA = 25,8 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.
Vrijlichaamsschema
Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.
Evenwicht
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN, aangrijpend op x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·5 = 50·2,5 + 2·2·4
RB = 141/5 = 28,2 kN
ΣFy = 0: RA = 54 − 28,2 = 25,8 kN
Antwoord
RA = 25,8 kN
5.Vakwerk: knopenmethode
Antwoord: staaf CG
Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.
Knooppunt C
BC en CD liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen CG over.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Controleer met de knooppuntenmethode
Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).
Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.
Knooppunt B
AB en BC liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen BF over.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Controleer met de knooppuntenmethode
Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).
Machines: tangen, hefbomen, schakelwerk en klemmen zetten een ingaande kracht om in een grotere of anders gerichte uitgaande kracht. Teken één onderdeel als vrij lichaam en neem momenten om zijn draaipunt: de pennenkracht valt weg, en Fin·a = Fuit·b geeft het mechanisch voordeel a/b. De pennenkracht volgt dan uit ΣF = 0 voor hetzelfde onderdeel. In een kniehefboom komen twee schakels onder een kleine hoek θ samen; elke schakel is een tweekrachtsstaaf, dus een kleine kracht F in het gewricht veroorzaakt grote schakelkrachten F/(2 sin θ) en een klemkracht F/(2 tan θ).
Evenwicht van pen B
2·Flink·sin 25° = 150
Flink = 177,5 N
Klemkracht
Q = Flink·cos 25° = 150/(2·tan 25°) = 160,8 N
Antwoord
Q = 160,8 N
De krachtverhouding Q/F = 1,072 groeit onbeperkt als de schakels strekken.
8.Raamwerken en machines
Antwoord: F = 481,5 N
Machines: tangen, hefbomen, schakelwerk en klemmen zetten een ingaande kracht om in een grotere of anders gerichte uitgaande kracht. Teken één onderdeel als vrij lichaam en neem momenten om zijn draaipunt: de pennenkracht valt weg, en Fin·a = Fuit·b geeft het mechanisch voordeel a/b. De pennenkracht volgt dan uit ΣF = 0 voor hetzelfde onderdeel. In een kniehefboom komen twee schakels onder een kleine hoek θ samen; elke schakel is een tweekrachtsstaaf, dus een kleine kracht F in het gewricht veroorzaakt grote schakelkrachten F/(2 sin θ) en een klemkracht F/(2 tan θ).
Schakelhoek
sin θ = 8/100 = 0,08, θ = 4,589°
Schakelkracht
Flink = Q/cos θ = 3010 N
Kracht in B
F = 2·Flink·sin θ = 2·3000·tan θ = 481,5 N
Antwoord
F = 481,5 N
9.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: Mmax = 60 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.
Oplegreacties
Evenwicht van de hele balk.
ΣMA = 0: RB·8 = 60·1 + 20·5
RB = 160/8 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 20 = 60 kN
Moment onder elke last
Houd het deel links van elke last over.
onder P1: M = RA·1 = 60·1 = 60 kN·m
onder P2: M = RB·3 = 20·3 = 60 kN·m
Grootste waarde
Mmax = 60 kN·m (onder P1)
Antwoord
Mmax = 60 kN·m
10.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: F (x = 10 m)
Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).
Oplegreacties
Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.
R1 = 23,75 kN, R2 = 31,25 kN
Buigend moment bij elke markering
Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.
MA = 0, MB = −30, MC = −12,5, MD = 5, ME = −17,5, MF = −40 kN·m, MG = 0
Antwoord
Markering F: MF = −40 kN·m
11.Zwaartepunt en traagheidsmoment
Antwoord: Ix = 11,75 × 10⁶ mm⁴
Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.
Verdeel in twee rechthoeken
Meet elke y vanaf de onderrand.
flens: Af = 200·20 = 4000 mm², yf = 140 + 20/2 = 150 mm
Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft Ic = bh³/12 en een cirkel Ic = πd⁴/64.
Zwaartepunt
ȳ = (36000·120 − 1200·144)/(36000 − 1200) = 119,2 mm