Statica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Grootte: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Eenheidsvector: û = a/|a|
Componenten uit een hoek: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Inwendig product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b: a·b/|b|
Arbeid: W = F·d
Uitwendig product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Oppervlakken: parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O: M_O = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum: V = |a·(b × c)|

Methode

Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Raamwerken en machines

Evenwicht van elke staaf: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf: kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht: gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht: F = √(F_x² + F_y²)
Hefboom, tang, hoekhefboom: F_in·a = F_out·b
Kniehefboom: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting

Methode

Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Oefenopgaven

1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld

Bepaal de waarde van k waarvoor de vectoren a = (4, 5, 0) en b = (k, −1, 5) loodrecht op elkaar staan.

a = (4, 5, 0)b = (k, −1, 5)

k =

2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk

De eenheidsvector n̂ staat loodrecht op zowel a = (5, −1, 1) als b = (2, 4, −2) en heeft een positieve z-component. Bepaal zijn x-component n̂_x.

a = (5, −1, 1)b = (2, 4, −2)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie R_A.

L = 6 mP₁ = 60 kN op 1,5 mP₂ = 55 kN op 2 m

R_A = kN

4.Oplegreacties van balkenMoeilijk

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie R_B.

L = 5 mP = 60 kN op 1 mw = 2 kN/m van 3 tot 5 m

R_B = kN

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_BC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 6 mhoogte = 2 mB ligt 5 m van Averticale belasting = 45 kN

F_BC = kN

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AC in staaf AC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 6 mhoogte = 4 mB ligt 5 m van Averticale belasting = 10 kNhorizontale belasting = 5 kN ←

F_AC = kN

7.Raamwerken en machinesGemiddeld

Het getoonde raamwerk heeft scharnieren in A, B en C; A en C zitten 6 m uit elkaar aan de grond vast, en B ligt 2 m boven de grond en 0,9 m rechts van A. Een verticale belasting van 6 kN werkt op staaf AB in K, 0,36 m (horizontaal) van A. Bepaal de kracht F_BC in staaf BC.

P = 6 kNL = 6 mH = 2 mhorizontale afstand A tot B = 0,9 mhorizontale afstand A tot K = 0,36 m

F_BC = kN

8.Raamwerken en machinesMoeilijk

Een homogene horizontale giek AB met een gewicht van 3 kN is in A scharnierend aan een muur bevestigd en wordt vastgehouden door een kabel van B naar het punt C op de muur, 2,5 m boven A. In B hangt een last van 15 kN. Bepaal de grootte van de penreactie A.

W = 15 kNW_b = 3 kNAB = 2 mAC = 2,5 m

A = kN

9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt twee puntlasten. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 8 mP₁ = 10 kN op 4 mP₂ = 10 kN op 7 m

M_max = kN·m

10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 2,5 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Over de hele lengte A–C werkt een gelijkmatig verdeelde belasting w. Vind het buigend moment M_B bij oplegging B. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 8,5 mw = 4 kN/m van 0 tot 8,5 mopleggingen bij x = 0 en x = 6 m

M_B = kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 30 kN·m. Vind de grootte van de buigspanning σ_boven aan de bovenrand.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 140 mmM = 30 kN·m

σ_boven = MPa

3Oplossingen

1.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: k = 1,25

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Inwendig product is gelijk aan nul

a·b = 4·k + 5·(−1) + 0·5 = 0

−5 + 4·k = 0

Los op naar k

k = −(−5)/4 = 1,25

Antwoord

k = 1,25

2.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: n̂_x = −0,07956

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Uitwendig product

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−1)·(−2) − 1·4 = −2

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 1·2 − 5·(−2) = 12

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 5·4 − (−1)·2 = 22

Normeren

De z-component van a × b is al positief.

|a × b| = √((−2)² + 12² + 22²) = 25,14

n̂ = (−2, 12, 22)/25,14 = (−0,07956, 0,4773, 0,8751)

n̂_x = −0,07956

Antwoord

n̂_x = −0,07956

3.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_A = 81,67 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·1,5 + 55·2

R_B = 200/6 = 33,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 33,33 = 81,67 kN

Antwoord

R_A = 81,67 kN

4.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_B = 15,2 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN, aangrijpend op x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·1 + 2·2·4

R_B = 76/5 = 15,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 15,2 = 48,8 kN

Antwoord

R_B = 15,2 kN

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_BC = −41,93 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·5 → C_y = 37,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 37,5 = 7,5 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −37,5/0,8944 = −41,93 kN

Antwoord

F_BC = −41,93 kN (druk)

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AC = 1,25 kN

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 10·5 − 5·4 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 5 = 5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −5/0,9701 = −5,154 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−5,154)·0,2425 = 1,25 kN

Antwoord

F_AC = 1,25 kN (trek)

7.Raamwerken en machines

Antwoord: F_BC = 0,9861 kN

Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.

Tweekrachtsstaaf BC

BC = √(5,1² + 2²) = 5,478 m

Heel raamwerk: momenten om A

De grond duwt in C op BC langs CB; zijn horizontale component gaat door A, alleen de verticale heeft een moment.

F_BC·(2/5,478)·6 = 6·0,36

F_BC = 0,9861 kN (druk)

Antwoord

F_BC = 0,9861 kN

8.Raamwerken en machines

Antwoord: A = 13,28 kN

Kabelspanning

T = (15 + 3/2)/0,7809 = 21,13 kN

Componenten in A

A_x = T·cos β = 13,2 kN

A_y = 15 + 3 − T·sin β = 1,5 kN

Grootte

A = √(13,2² + 1,5²) = 13,28 kN

Antwoord

A = 13,28 kN

9.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 25 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·4 + 10·7

R_B = 110/8 = 13,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 13,75 = 6,25 kN

Moment onder elke last

Houd het deel links van elke last over.

onder P₁: M = R_A·4 = 6,25·4 = 25 kN·m

onder P₂: M = R_B·1 = 13,75·1 = 13,75 kN·m

Grootste waarde

M_max = 25 kN·m (onder P₁)

Antwoord

M_max = 25 kN·m

10.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_B = −12,5 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk, inclusief de belasting op het overstek.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 4·8,5 = 34 kN, aangrijpend op x̄ = 4,25 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·8,5·4,25

R_B = 144,5/6 = 24,08 kN

ΣF_y = 0: R_A = 34 − 24,08 = 9,917 kN

Snede bij B, houd het overstek over

De belasting op het overstek, w·a, grijpt aan op a/2 vanaf B en laat de balk boven de oplegging opbuigen.

M_B = −w·a²/2 = −4·2,5²/2 = −12,5 kN·m

Antwoord

M_B = −12,5 kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 20,55 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

lijf: A_w = 8·220 = 1760 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·225 + 1760·110)/4160 = 176,3 mm

Stelling van Steiner

flens: 240·10³/12 + 2400·(225 − 176,3)² = 5,701 × 10⁶ mm⁴

lijf: 8·220³/12 + 1760·(110 − 176,3)² = 1,485 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,701 × 10⁶ + 1,485 × 10⁷ = 2,055 × 10⁷ mm⁴ = 20,55 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 20,55 × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_boven = 117,5 MPa

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

lijf: A_w = 14·140 = 1960 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·145 + 1960·70)/4560 = 112,8 mm

Stelling van Steiner

flens: 260·10³/12 + 2600·(145 − 112,8)² = 2,724 × 10⁶ mm⁴

lijf: 14·140³/12 + 1960·(70 − 112,8)² = 6,786 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,724 × 10⁶ + 6,786 × 10⁶ = 9,509 × 10⁶ mm⁴

Buigspanning

De bovenrand ligt h − ȳ van de as.

y = 150 − 112,8 = 37,24 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·37,24/9,509 × 10⁶ = 117,5 MPa

Antwoord

σ_boven = 117,5 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics