Statica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Grootte: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Eenheidsvector: û = a/|a|
Componenten uit een hoek: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Inwendig product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b: a·b/|b|
Arbeid: W = F·d
Uitwendig product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Oppervlakken: parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O: M_O = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum: V = |a·(b × c)|

Methode

Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Raamwerken en machines

Evenwicht van elke staaf: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf: kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht: gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht: F = √(F_x² + F_y²)
Hefboom, tang, hoekhefboom: F_in·a = F_out·b
Kniehefboom: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting

Methode

Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Oefenopgaven

1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld

Bepaal de scalaire projectie comp_b a van a = (−6, 0, 4) op b = (−2, 4, −5), dat wil zeggen de component van a in de richting van b.

a = (−6, 0, 4)b = (−2, 4, −5)

comp_b a =

2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk

Bepaal het volume V van het parallellepipedum waarvan de ribben vanuit één hoekpunt a = (−2, 3, −5), b = (3, −4, 2) en c = (−5, 2, 5) zijn.

a = (−2, 3, −5)b = (3, −4, 2)c = (−5, 2, 5)

V =

3.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Hij draagt een puntlast P op 1,5 m van A en een linksdraaiend koppel M op 3 m van A. Vind de verticale reactie R_A, met omhoog positief.

L = 4 mP = 20 kN op 1,5 mM = 60 kN·m (linksdraaiend) op 3 m

R_A = kN

4.Oplegreacties van balkenMoeilijk

De uitkragende ligger is in A in de muur ingeklemd. Hij draagt een lineair verlopende belasting die nul is bij de muur en oploopt tot 15 kN/m aan het vrije uiteinde B, plus een puntlast P op 3,5 m van de muur. Vind de grootte van het inklemmingsmoment M_A bij de muur.

L = 4 mw₀ = 15 kN/mP = 60 kN op 3,5 m

M_A = kN·m

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.

B: 15 kN ↓C: 15 kN ↓G: 40 kN ↓

1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf FC
13staaf HC

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 4 mhoogte = 4 mB ligt 3 m van Averticale belasting = 20 kNhorizontale belasting = 30 kN →

F_AB = kN

7.Raamwerken en machinesGemiddeld

De getoonde hoekhefboom draait om de pen O. Een verticale kracht van 200 N in A (200 mm van O) wordt in evenwicht gehouden door een horizontale kracht in B (150 mm boven O). Bepaal de grootte van de penreactie F_O.

F = 200 NOA = 200 mmOB = 150 mm

F_O = N

8.Raamwerken en machinesMoeilijk

Een kniehefboompers heeft twee gelijke schakels AB en BC, elk 80 mm lang tussen de scharnierpunten. Het gewricht B zit 5 mm boven de lijn AC. Welke neerwaartse kracht F in B levert een horizontale perskracht van 4000 N op de schuif C? Verwaarloos wrijving en gewichten.

Q = 4000 NAB = BC = 80 mmh = 5 mm

F = N

9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 7,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 8 mw = 4 kN/m van 0 tot 8 mx = 7,5 m

M_x = kN·m

10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

15 kN @ 0 m20 kN @ 12 m40 kN @ 6 m10 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 10 kN·m. Vind de grootte van de buigspanning σ_boven aan de bovenrand.

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 220 mmM = 10 kN·m

σ_boven = MPa

3Oplossingen

1.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: comp_b a = −1,193

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Inwendig product

a·b = (−6)·(−2) + 0·4 + 4·(−5) = −8

Lengte van b

|b| = √((−2)² + 4² + (−5)²) = 6,708

Scalaire projectie

comp_b a = a·b/|b| = −8/6,708 = −1,193

Antwoord

comp_b a = −1,193

Negatief: a heeft een component die tegen b in wijst.

2.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: V = 43

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Uitwendig product b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−4)·5 − 2·2 = −24

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 2·(−5) − 3·5 = −25

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 3·2 − (−4)·(−5) = −14

Inwendig product met a

a·(b × c) = (−2)·(−24) + 3·(−25) + (−5)·(−14) = 43

V = |43| = 43

Antwoord

V = 43

3.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_A = 27,5 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.

Momenten om A

Linksom positief.

ΣM_A = 0: R_B·4 − 20·1,5 + 60 = 0

R_B = −30/4 = −7,5 kN

Verticaal evenwicht

R_A = 20 − (−7,5) = 27,5 kN

Antwoord

R_A = 27,5 kN

Een negatieve reactie werkt omlaag.

4.Oplegreacties van balken

Antwoord: M_A = 290 kN·m

Evenwicht van een uitkragende ligger: een inklemming kan omhoog duwen en ook rotatie tegenhouden, dus ze levert een verticale reactie R_A en een inklemmingsmoment M_A. ΣF_y = 0 geeft R_A, en momenten om de muur geven M_A = Σ(last × afstand tot de muur). Een verdeelde belasting werkt als haar resultante in het zwaartepunt van het belastingsdiagram.

Resultante van de driehoeksbelasting

W = ½·15·4 = 30 kN

x̄ = 2L/3 = 2,667 m

Moment om de muur

M_A = W·x̄ + P·a = 30·2,667 + 60·3,5 = 290 kN·m

Antwoord

M_A = 290 kN·m

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: staaf DH

Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.

Knooppunt D

CD en DE liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen DH over.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Controleer met de knooppuntenmethode

Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).

AB: 38,75 kN (T), BC: 38,75 kN (T), CD: 31,25 kN (T), DE: 31,25 kN (T), FG: 62,5 kN (C), GH: 62,5 kN (C), AF: 54,8 kN (C), HE: 44,19 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 40 kN (C), DH: 0, FC: 33,59 kN (T), HC: 44,19 kN (T)

Antwoord

Nulstaaf: DH

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AB = 31,25 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 20·3 + 30·4 → C_y = 45 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 45 = −25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Knoop A

Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.

sin α = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −−25/0,8 = 31,25 kN

Antwoord

F_AB = 31,25 kN (trek)

7.Raamwerken en machines

Antwoord: F_O = 333,3 N

Machines: tangen, hefbomen, schakelwerk en klemmen zetten een ingaande kracht om in een grotere of anders gerichte uitgaande kracht. Teken één onderdeel als vrij lichaam en neem momenten om zijn draaipunt: de pennenkracht valt weg, en F_in·a = F_uit·b geeft het mechanisch voordeel a/b. De pennenkracht volgt dan uit ΣF = 0 voor hetzelfde onderdeel. In een kniehefboom komen twee schakels onder een kleine hoek θ samen; elke schakel is een tweekrachtsstaaf, dus een kleine kracht F in het gewricht veroorzaakt grote schakelkrachten F/(2 sin θ) en een klemkracht F/(2 tan θ).

Kracht in B

Q = 200·200/150 = 266,7 N

Penreactie

O_x = 266,7 N, O_y = 200 N

F_O = √(266,7² + 200²) = 333,3 N

Antwoord

F_O = 333,3 N

8.Raamwerken en machines

Antwoord: F = 501 N

Schakelhoek

sin θ = 5/80 = 0,0625, θ = 3,583°

Schakelkracht

F_link = Q/cos θ = 4008 N

Kracht in B

F = 2·F_link·sin θ = 2·4000·tan θ = 501 N

Antwoord

F = 501 N

9.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 7,5 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, aangrijpend op x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·8·4

R_B = 128/8 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Snijd bij x = 7,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 16·7,5 − 4·7,5·3,75 = 7,5 kN·m

Antwoord

M_x = 7,5 kN·m

10.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: D (x = 6 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 73,75 kN, R₂ = 81,25 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = −30, M_C = 67,5, M_D = 125 kN·m, M_E = 62,5, M_F = −40, M_G = 0

Antwoord

Markering D: M_D = 125 kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 44,02 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 240·25 = 6000 mm², y_f = 200 + 25/2 = 212,5 mm

lijf: A_w = 20·200 = 4000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·212,5 + 4000·100)/10000 = 167,5 mm

Stelling van Steiner

flens: 240·25³/12 + 6000·(212,5 − 167,5)² = 1,246 × 10⁷ mm⁴

lijf: 20·200³/12 + 4000·(100 − 167,5)² = 3,156 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,246 × 10⁷ + 3,156 × 10⁷ = 4,402 × 10⁷ mm⁴ = 44,02 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 44,02 × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_boven = 16,55 MPa

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 160·30 = 4800 mm², y_f = 220 + 30/2 = 235 mm

lijf: A_w = 10·220 = 2200 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·235 + 2200·110)/7000 = 195,7 mm

Stelling van Steiner

flens: 160·30³/12 + 4800·(235 − 195,7)² = 7,768 × 10⁶ mm⁴

lijf: 10·220³/12 + 2200·(110 − 195,7)² = 2,504 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,768 × 10⁶ + 2,504 × 10⁷ = 3,28 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De bovenrand ligt h − ȳ van de as.

y = 250 − 195,7 = 54,29 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·54,29/3,28 × 10⁷ = 16,55 MPa

Antwoord

σ_boven = 16,55 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics