Statica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Grootte: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Eenheidsvector: û = a/|a|
Componenten uit een hoek: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Inwendig product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b: a·b/|b|
Arbeid: W = F·d
Uitwendig product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Oppervlakken: parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O: M_O = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum: V = |a·(b × c)|

Methode

Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Raamwerken en machines

Evenwicht van elke staaf: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf: kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht: gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht: F = √(F_x² + F_y²)
Hefboom, tang, hoekhefboom: F_in·a = F_out·b
Kniehefboom: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting

Methode

Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Oefenopgaven

1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld

Bepaal de hoek θ tussen de vectoren a = (1, −4, 6) en b = (−6, −2, −1), in graden.

a = (1, −4, 6)b = (−6, −2, −1)

θ = °

2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk

De eenheidsvector n̂ staat loodrecht op zowel a = (4, 1, 1) als b = (−5, 1, −1) en heeft een positieve z-component. Bepaal zijn x-component n̂_x.

a = (4, 1, 1)b = (−5, 1, −1)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie R_A.

L = 10 mP₁ = 55 kN op 4 mP₂ = 55 kN op 5 m

R_A = kN

4.Oplegreacties van balkenMoeilijk

De balk heeft een scharnier in A en een rol in B, op 2,5 m van A, en steekt voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Hij draagt een puntlast P op 1,5 m van A en een gelijkmatig verdeelde belasting w van 2,5 m tot het vrije uiteinde op 4 m. Vind de verticale reactie R_A, met omhoog positief.

AB = 2,5 mAC = 4 mP = 70 kN op 1,5 mw = 6 kN/m van 2,5 tot 4 m

R_A = kN

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 4 mhoogte = 4 mB ligt 3 m van Averticale belasting = 40 kN

F_AB = kN

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 4 mhoogte = 3 mB ligt 3 m van Averticale belasting = 40 kNhorizontale belasting = 15 kN ←

F_AB = kN

7.Raamwerken en machinesGemiddeld

Het getoonde raamwerk heeft scharnieren in A, B en C; A en C zitten 3 m uit elkaar aan de grond vast, en B ligt 4 m boven de grond en 1,35 m rechts van A. Een verticale belasting van 6 kN werkt op staaf AB in K, 0,81 m (horizontaal) van A. Bepaal de kracht F_BC in staaf BC.

P = 6 kNL = 3 mH = 4 mhorizontale afstand A tot B = 1,35 mhorizontale afstand A tot K = 0,81 m

F_BC = kN

8.Raamwerken en machinesMoeilijk

De balk AB van de getoonde wandconsole is in A scharnierend bevestigd en wordt gesteund door de stut CD (C ligt 0,75 m onder A). De balk draagt over zijn hele lengte een gelijkmatig verdeelde belasting van 3 kN/m en een puntlast van 5 kN aan zijn vrije uiteinde B. Bepaal de kracht F_CD in de stut.

w = 3 kN/mP = 5 kNAD = 0,75 mAB = 2 mAC = 0,75 m

F_CD = kN

9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 2,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 5 mw = 5 kN/m van 0 tot 5 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting over een deel van de overspanning. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 6 mw = 20 kN/m van 0 tot 3 m

M_max = kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 180 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een gelast I-profiel heeft een bovenflens van 180 × 22 mm, een lijf van 210 mm hoog en 8 mm dik, en een onderflens van 250 × 14 mm (breedte × dikte). Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale as x door het zwaartepunt.

bovenflens: 180 × 22 mmlijf: 8 × 210 mmonderflens: 250 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Oplossingen

1.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: θ = 94,92 °

Inwendig product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, een scalar. Het geeft de hoek tussen twee vectoren, cos θ = a·b/(|a|·|b|), en het is nul als ze loodrecht op elkaar staan. De scalaire projectie van a op b is a·b/|b|, en een constante kracht F die over een verplaatsing d werkt, verricht arbeid W = F·d.

Inwendig product

a·b = 1·(−6) + (−4)·(−2) + 6·(−1) = −4

Groottes

|a| = √(1² + (−4)² + 6²) = 7,28

|b| = √((−6)² + (−2)² + (−1)²) = 6,403

Hoek

cos θ = −4/(7,28·6,403) = −0,08581

θ = arccos(−0,08581) = 94,92°

Antwoord

θ = 94,92°

2.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: n̂_x = −0,2157

Uitwendig product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) staat loodrecht op beide vectoren, en |a × b| = |a|·|b|·sin θ is de oppervlakte van het parallellogram dat ze opspannen (de driehoek is de helft daarvan). De volgorde doet ertoe: b × a = −(a × b). Het moment van een kracht F die op punt A werkt, om punt O is M_O = r × F, met r = A − O.

Uitwendig product

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 1·(−1) − 1·1 = −2

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 1·(−5) − 4·(−1) = −1

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 4·1 − 1·(−5) = 9

Normeren

De z-component van a × b is al positief.

|a × b| = √((−2)² + (−1)² + 9²) = 9,274

n̂ = (−2, −1, 9)/9,274 = (−0,2157, −0,1078, 0,9705)

n̂_x = −0,2157

Antwoord

n̂_x = −0,2157

3.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_A = 60,5 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·4 + 55·5

R_B = 495/10 = 49,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 49,5 = 60,5 kN

Antwoord

R_A = 60,5 kN

4.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_A = 25,3 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.

Resultante van de verdeelde belasting

W = 6·1,5 = 9 kN, x̄ = (2,5 + 4)/2 = 3,25 m

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣM_A = 0: R_B·2,5 = 70·1,5 + 9·3,25

R_B = 134,3/2,5 = 53,7 kN

R_A = 79 − 53,7 = 25,3 kN

Antwoord

R_A = 25,3 kN

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AB = −12,5 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 40·3 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 30 = 10 kN

Knoop A

Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.

sin α = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −10/0,8 = −12,5 kN

Antwoord

F_AB = −12,5 kN (druk)

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AB = −30,05 kN

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 40·3 − 15·3 → C_y = 18,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 18,75 = 21,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Knoop A

Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −21,25/0,7071 = −30,05 kN

Antwoord

F_AB = −30,05 kN (druk)

7.Raamwerken en machines

Antwoord: F_BC = 1,752 kN

Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.

Tweekrachtsstaaf BC

BC = √(1,65² + 4²) = 4,327 m

Heel raamwerk: momenten om A

De grond duwt in C op BC langs CB; zijn horizontale component gaat door A, alleen de verticale heeft een moment.

F_BC·(4/4,327)·3 = 6·0,81

F_BC = 1,752 kN (druk)

Antwoord

F_BC = 1,752 kN

8.Raamwerken en machines

Antwoord: F_CD = 30,17 kN

Resultante van de gelijkmatig verdeelde belasting

w·L = 3·2 = 6 kN op 1 m

Momenten om A voor de balk

F_CD·0,7071·0,75 = 6·1 + 5·2 = 16 kN·m

F_CD = 30,17 kN

Antwoord

F_CD = 30,17 kN

9.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 15,63 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, aangrijpend op x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·5·2,5

R_B = 62,5/5 = 12,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 12,5 = 12,5 kN

Snijd bij x = 2,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 12,5·2,5 − 5·2,5·1,25 = 15,63 kN·m

Antwoord

M_x = 15,63 kN·m

10.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 50,63 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 20·3 = 60 kN, aangrijpend op x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·3·1,5

R_B = 90/6 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 15 = 45 kN

Dwarskracht nul

De dwarskracht begint bij R_A, blijft constant over elk onbelast deel en daalt met helling w binnen de belasting.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 45/20 = 2,25 m

Maximaal moment

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 45·2,25 − 20·2,25²/2 = 50,63 kN·m

Antwoord

M_max = 50,63 kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 58,67 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 180·25 = 4500 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292,5 mm

lijf: A_w = 10·280 = 2800 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·292,5 + 2800·140)/7300 = 234 mm

Stelling van Steiner

flens: 180·25³/12 + 4500·(292,5 − 234)² = 1,563 × 10⁷ mm⁴

lijf: 10·280³/12 + 2800·(140 − 234)² = 4,304 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,563 × 10⁷ + 4,304 × 10⁷ = 5,867 × 10⁷ mm⁴ = 58,67 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 58,67 × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 103,1 × 10⁶ mm⁴

Verdeel in drie rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

bovenflens: A = 3960 mm², y = 235 mm

lijf: A = 1680 mm², y = 119 mm

onderflens: A = 3500 mm², y = 7 mm

Zwaartepunt

ȳ = (3960·235 + 1680·119 + 3500·7)/9140 = 126,4 mm

Stelling van Steiner

bovenflens: 180·22³/12 + 3960·108,6² = 4,689 × 10⁷ mm⁴

lijf: 8·210³/12 + 1680·7,37² = 6,265 × 10⁶ mm⁴

onderflens: 250·14³/12 + 3500·119,4² = 4,993 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,689 × 10⁷ + 6,265 × 10⁶ + 4,993 × 10⁷

I_x = 1,031 × 10⁸ mm⁴ = 103,1 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 103,1 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics