Statica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Grootte: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Eenheidsvector: û = a/|a|
Componenten uit een hoek: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Inwendig product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b: a·b/|b|
Arbeid: W = F·d
Uitwendig product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Oppervlakken: parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O: M_O = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum: V = |a·(b × c)|

Methode

Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Raamwerken en machines

Evenwicht van elke staaf: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf: kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht: gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht: F = √(F_x² + F_y²)
Hefboom, tang, hoekhefboom: F_in·a = F_out·b
Kniehefboom: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting

Methode

Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Oefenopgaven

1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld

Een constante kracht F = (15, 15, 10) N werkt op een voorwerp terwijl het zich in een rechte lijn verplaatst van punt A(5, 5, 3) naar punt B(5, −1, −2). Coördinaten zijn in meter. Bepaal de arbeid W die de kracht verricht.

F = (15, 15, 10) NA(5, 5, 3) mB(5, −1, −2) m

W = J

2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk

Bepaal de oppervlakte A van de driehoek met hoekpunten A(1, −1, −4), B(3, −3, −1) en C(−4, −2, −3). Coördinaten zijn in meter.

A(1, −1, −4)B(3, −3, −1)C(−4, −2, −3)

A = m²

3.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De balk heeft een scharnier in A en een rol in B, op 5 m van A, en steekt voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Vind de verticale reactie R_B, met omhoog positief.

AB = 5 mAC = 8 mP₁ = 35 kN op 2 mP₂ = 80 kN op 8 m

R_B = kN

4.Oplegreacties van balkenMoeilijk

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie R_B.

L = 4 mP = 25 kN op 3 mw = 6 kN/m van 2 tot 3 m

R_B = kN

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.

B: 25 kN ↓F: 35 kN ↓G: 35 kN ↓H: 40 kN ↓

1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf FC
13staaf HC

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AC in staaf AC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 5 mhoogte = 3 mB ligt 1 m van Averticale belasting = 20 kNhorizontale belasting = 25 kN ←

F_AC = kN

7.Raamwerken en machinesGemiddeld

Het getoonde A-frame staat op een scharnier in A en een rol in B, 2,4 m uit elkaar, met de topscharnier C op 2,5 m hoogte en de horizontale trekstang DE 0,8 m boven de grond. Een verticale belasting van 12 kN werkt op poot AC in K, 0,72 m (horizontaal) van A. Bepaal de trekkracht T in de trekstang.

P = 12 kNAB = 2,4 mhoogte van C = 2,5 mhoogte van DE = 0,8 mhorizontale afstand A tot K = 0,72 m

T = kN

8.Raamwerken en machinesMoeilijk

Het getoonde raamwerk heeft scharnieren in A, B en C; A en C zitten 5 m uit elkaar aan de grond vast, en B ligt 3 m hoog en 3 m rechts van A. Staaf AB draagt een verticale belasting van 5 kN in K, 0,75 m (horizontaal) van A, en in B werkt een horizontale belasting van 8 kN naar rechts op staaf AB. Bepaal de grootte van de horizontale reactie A_x in A.

P = 5 kNQ = 8 kNL = 5 mH = 3 mhorizontale afstand A tot B = 3 mhorizontale afstand A tot K = 0,75 m

A_x = kN

9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt twee puntlasten. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 6 mP₁ = 35 kN op 1 mP₂ = 30 kN op 5 m

M_max = kN·m

10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 1 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 6 mP = 25 kN op 4,5 mw = 3 kN/m van 0 tot 6 mx = 1 m

M_x = kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een U-profiel ligt met de open kant naar boven: een bodemplaat van 200 mm breed met twee opstaande benen, 170 mm hoog in totaal. Bodem en benen zijn allemaal 18 mm dik. Vind de hoogte ȳ van het zwaartepunt boven de onderrand.

b = 200 mmh = 170 mmt = 18 mm

ȳ = mm

12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 25 kN·m. Vind de buigspanning σ_onder aan de onderrand.

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mmM = 25 kN·m

σ_onder = MPa

3Oplossingen

1.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: W = −140 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Verplaatsing

d = B − A = (5, −1, −2) − (5, 5, 3) = (0, −6, −5) m

Arbeid

W = F·d = 15·0 + 15·(−6) + 10·(−5) = −140 J

Antwoord

W = −140 J

Negatieve arbeid: de kracht werkt grotendeels tegen de beweging in.

2.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: A = 10,42 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Zijdevectoren

AB = B − A = (2, −2, 3)

AC = C − A = (−5, −1, 1)

Uitwendig product

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−2)·1 − 3·(−1) = 1

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 3·(−5) − 2·1 = −17

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 2·(−1) − (−2)·(−5) = −12

|AB × AC| = √(1² + (−17)² + (−12)²) = 20,83

Oppervlakte van de driehoek

A = ½·20,83 = 10,42 m²

Antwoord

A = 10,42 m²

3.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_B = 142 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.

Momenten om A

Linksom positief.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·2 + 80·8

R_B = 710/5 = 142 kN

Verticaal evenwicht

R_A = 35 + 80 − 142 = −27 kN

Antwoord

R_B = 142 kN

R_A is negatief: het scharnier in A moet de balk naar beneden houden.

4.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_B = 22,5 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 6·1 = 6 kN, aangrijpend op x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·3 + 6·1·2,5

R_B = 90/4 = 22,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 31 − 22,5 = 8,5 kN

Antwoord

R_B = 22,5 kN

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: staaf DH

Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.

Knooppunt D

CD en DE liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen DH over.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Controleer met de knooppuntenmethode

Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).

AB: 72,5 kN (T), BC: 72,5 kN (T), CD: 62,5 kN (T), DE: 62,5 kN (T), FG: 85 kN (C), GH: 85 kN (C), AF: 102,5 kN (C), HE: 88,39 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 35 kN (C), DH: 0, FC: 17,68 kN (T), HC: 31,82 kN (T)

Antwoord

Nulstaaf: DH

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AC = −14,67 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 20·1 − 25·3 → C_y = −11 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − −11 = 31 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−11/0,6 = 18,33 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(18,33)·0,8 = −14,67 kN

Antwoord

F_AC = −14,67 kN (druk)

7.Raamwerken en machines

Antwoord: T = 2,541 kN

Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.

Heel raamwerk: momenten om A

B_y = 12·0,72/2,4 = 3,6 kN

Poot BC: momenten om C

3,6·1,2 = T·1,7

T = 2,541 kN

Antwoord

T = 2,541 kN

8.Raamwerken en machines

Antwoord: A_x = 4,3 kN

Richting van BC

BC = 3,606 m, cos = 0,5547, sin = 0,8321

Heel raamwerk: momenten om A

F_BC·0,8321·5 = 5·0,75 + 8·3

F_BC = 6,67 kN

Horizontaal evenwicht

A_x + 8 − 6,67·0,5547 = 0

A_x = −4,3 kN → |A_x| = 4,3 kN

Antwoord

A_x = 4,3 kN

Het minteken betekent dat A_x naar links wijst.

9.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 34,17 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·1 + 30·5

R_B = 185/6 = 30,83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 30,83 = 34,17 kN

Moment onder elke last

Houd het deel links van elke last over.

onder P₁: M = R_A·1 = 34,17·1 = 34,17 kN·m

onder P₂: M = R_B·1 = 30,83·1 = 30,83 kN·m

Grootste waarde

M_max = 34,17 kN·m (onder P₁)

Antwoord

M_max = 34,17 kN·m

10.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 13,75 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·4,5 + 3·6·3

R_B = 166,5/6 = 27,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 43 − 27,75 = 15,25 kN

Snijd bij x = 1 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 15,25·1 − 3·1·0,5 = 13,75 kN·m

Antwoord

M_x = 13,75 kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: ȳ = 60,27 mm

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in rechthoeken

Neem de bodem over de volle breedte en de twee benen daarboven (hoogte h − t), zodat niets dubbel geteld wordt.

basis: A₁ = 200·18 = 3600 mm², y₁ = 9 mm

twee benen: A₂ = 2·18·152 = 5472 mm², y₂ = 18 + 152/2 = 94 mm

Zwaartepunt

ȳ = (3600·9 + 5472·94)/9072 = 60,27 mm

Antwoord

ȳ = 60,27 mm

12.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_onder = 178,9 MPa

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 140·15 = 2100 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207,5 mm

lijf: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2100·207,5 + 2400·100)/4500 = 150,2 mm

Stelling van Steiner

flens: 140·15³/12 + 2100·(207,5 − 150,2)² = 6,942 × 10⁶ mm⁴

lijf: 12·200³/12 + 2400·(100 − 150,2)² = 1,404 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,942 × 10⁶ + 1,404 × 10⁷ = 2,098 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De onderrand ligt ȳ van de as.

y = 150,2 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·150,2/2,098 × 10⁷ = 178,9 MPa

Antwoord

σ_onder = 178,9 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics