Statica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Grootte
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Eenheidsvector
û = a/|a|
Componenten uit een hoek
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Inwendig product
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b
a·b/|b|
Arbeid
W = F·d
Uitwendig product
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Oppervlakken
parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O
MO = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum
V = |a·(b × c)|

Methode

  1. Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
  2. Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
  3. Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.

Oplegreacties van balken

Evenwicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Moment
M = F·d

Methode

  1. Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
  2. Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
  3. Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
  4. Gebruik ΣFy = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Snedemethode
ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht
positief = trek, negatief = druk

Methode

  1. Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
  2. Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣFx = 0 en ΣFy = 0.
  3. Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
  4. Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Raamwerken en machines

Evenwicht van elke staaf
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf
kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht
gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht
F = √(Fx² + Fy²)
Hefboom, tang, hoekhefboom
Fin·a = Fout·b
Kniehefboom
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting

Methode

  1. Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
  2. Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
  3. Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
  4. Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣFx = 0 en ΣFy = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
  2. Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
  3. Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
  4. Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechthoek
I = bh³/12
Stelling van Steiner
I = Ic + A·d²
Samengestelde doorsnede
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2Oefenopgaven

1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld
xyzab

Bepaal het inwendig product a·b van a = (−7, −3, −2) en b = (1, 7, 3).

a = (−7, −3, −2)b = (1, 7, 3)
a·b =
2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk
xyzab

Bepaal voor a = (−4, −6, 2) en b = (−5, −5, 0) de z-component (a × b)z van het uitwendig product a × b.

a = (−4, −6, 2)b = (−5, −5, 0)
(a × b)z =
3.Oplegreacties van balkenGemiddeld
P1​ = 45 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​ = ?1 m0,5 m3,5 m

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RB.

L = 5 mP1 = 45 kN op 1 mP2 = 10 kN op 1,5 m
RB = kN
4.Oplegreacties van balkenMoeilijk
w = 8 kN/mP = 30 kNABRA​RB​ = ?3 m1 m1 m1 m

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RB.

L = 6 mP = 30 kN op 5 mw = 8 kN/m van 3 tot 4 m
RB = kN
5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld
ABCDEFGH10 kN40 kN4 × 3 m3 m

Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.

D: 10 kN ↓F: 40 kN ↓
  1. 1staaf AB
  2. 2staaf BC
  3. 3staaf CD
  4. 4staaf DE
  5. 5staaf FG
  6. 6staaf GH
  7. 7staaf AF
  8. 8staaf HE
  9. 9staaf BF
  10. 10staaf CG
  11. 11staaf DH
  12. 12staaf BG
  13. 13staaf DG
6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk
ABCDEFGH25 kN40 kN25 kN4 × 3 m3 m

Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.

B: 25 kN ↓D: 40 kN ↓H: 25 kN ←
  1. 1staaf AB
  2. 2staaf BC
  3. 3staaf CD
  4. 4staaf DE
  5. 5staaf FG
  6. 6staaf GH
  7. 7staaf AF
  8. 8staaf HE
  9. 9staaf BF
  10. 10staaf CG
  11. 11staaf DH
  12. 12staaf BG
  13. 13staaf DG
7.Raamwerken en machinesGemiddeld
200 NQ = ?25°ABC

In de getoonde kniehefboomklem zijn twee gelijke schakels AB en BC in B scharnierend verbonden, en elk maakt 25° met de lijn AC. In B wordt een neerwaartse kracht van 200 N uitgeoefend. De schuif C drukt op een werkstuk. Bepaal, zonder wrijving en gewichten, de horizontale klemkracht Q.

F = 200 Nθ = 25°
Q = N
8.Raamwerken en machinesMoeilijk
F = ?3000 N25 mmABC

Een kniehefboompers heeft twee gelijke schakels AB en BC, elk 120 mm lang tussen de scharnierpunten. Het gewricht B zit 25 mm boven de lijn AC. Welke neerwaartse kracht F in B levert een horizontale perskracht van 3000 N op de schuif C? Verwaarloos wrijving en gewichten.

Q = 3000 NAB = BC = 120 mmh = 25 mm
F = N
9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
P1​ = 70 kNP2​ = 35 kNAB2 m3 m3 m

De vrij opgelegde balk draagt twee puntlasten. Vind het maximale buigend moment Mmax in de balk.

L = 8 mP1 = 70 kN op 2 mP2 = 35 kN op 5 m
Mmax = kN·m
10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
w = 24 kN/mAB2 m4 m

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting over een deel van de overspanning. Vind het maximale buigend moment Mmax in de balk.

L = 6 mw = 24 kN/m van 0 tot 2 m
Mmax = kN·m
11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld
1202026010xafmetingen in mm

Vind het traagheidsmoment Ix van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

bf = 120 mmtf = 20 mmtw = 10 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk
2601530012xM = 40 kN·mafmetingen in mm

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 40 kN·m. Vind de grootte van de buigspanning σboven aan de bovenrand.

bf = 260 mmtf = 15 mmtw = 12 mmhw = 300 mmM = 40 kN·m
σboven = MPa

3Oplossingen

1.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: a·b = −34

Inwendig product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, een scalar. Het geeft de hoek tussen twee vectoren, cos θ = a·b/(|a|·|b|), en het is nul als ze loodrecht op elkaar staan. De scalaire projectie van a op b is a·b/|b|, en een constante kracht F die over een verplaatsing d werkt, verricht arbeid W = F·d.

Vermenigvuldig overeenkomstige componenten en tel op

a·b = (−7)·1 + (−3)·7 + (−2)·3 = (−7) + (−21) + (−6) = −34

Antwoord

a·b = −34

Negatief: de hoek tussen de vectoren is groter dan 90°.

2.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: (a × b)z = −10

Uitwendig product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) staat loodrecht op beide vectoren, en |a × b| = |a|·|b|·sin θ is de oppervlakte van het parallellogram dat ze opspannen (de driehoek is de helft daarvan). De volgorde doet ertoe: b × a = −(a × b). Het moment van een kracht F die op punt A werkt, om punt O is MO = r × F, met r = A − O.

Uitwendig product, component voor component

(a × b)x = aybz − azby = (−6)·0 − 2·(−5) = 10
(a × b)y = azbx − axbz = 2·(−5) − (−4)·0 = −10
(a × b)z = axby − aybx = (−4)·(−5) − (−6)·(−5) = −10

Gevraagde component

(a × b)z = −10

Antwoord

(a × b)z = −10

Controle: a × b staat loodrecht op beide vectoren, dus het inwendig product met a en met b is nul.

3.Oplegreacties van balken

Antwoord: RB = 12 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

P1​ = 45 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​1 m0,5 m3,5 m

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣMA = 0: RB·5 = 45·1 + 10·1,5
RB = 60/5 = 12 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 12 = 43 kN

Antwoord

RB = 12 kN
4.Oplegreacties van balken

Antwoord: RB = 29,67 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

w = 8 kN/mP = 30 kNABRA​RB​3 m1 m1 m1 m

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN, aangrijpend op x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 30·5 + 8·1·3,5
RB = 178/6 = 29,67 kN
ΣFy = 0: RA = 38 − 29,67 = 8,333 kN

Antwoord

RB = 29,67 kN
5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: staaf CG

Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.

Knooppunt C

BC en CD liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen CG over.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Controleer met de knooppuntenmethode

Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).

AB: 32,5 kN (T), BC: 25 kN (T), CD: 25 kN (T), DE: 17,5 kN (T), FG: 32,5 kN (C), GH: 17,5 kN (C), AF: 45,96 kN (C), HE: 24,75 kN (C), BF: 7,5 kN (C), CG: 0, DH: 17,5 kN (T), BG: 10,61 kN (T), DG: 10,61 kN (C)

Antwoord

Nulstaaf: CG
6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: staaf CG

Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.

Knooppunt C

BC en CD liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen CG over.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Controleer met de knooppuntenmethode

Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).

AB: 10 kN (T), BC: 20 kN (T), CD: 20 kN (T), DE: 30 kN (T), FG: 35 kN (C), GH: 55 kN (C), AF: 49,5 kN (C), HE: 42,43 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 0, DH: 30 kN (T), BG: 14,14 kN (C), DG: 14,14 kN (T)

Antwoord

Nulstaaf: CG
7.Raamwerken en machines

Antwoord: Q = 214,5 N

Machines: tangen, hefbomen, schakelwerk en klemmen zetten een ingaande kracht om in een grotere of anders gerichte uitgaande kracht. Teken één onderdeel als vrij lichaam en neem momenten om zijn draaipunt: de pennenkracht valt weg, en Fin·a = Fuit·b geeft het mechanisch voordeel a/b. De pennenkracht volgt dan uit ΣF = 0 voor hetzelfde onderdeel. In een kniehefboom komen twee schakels onder een kleine hoek θ samen; elke schakel is een tweekrachtsstaaf, dus een kleine kracht F in het gewricht veroorzaakt grote schakelkrachten F/(2 sin θ) en een klemkracht F/(2 tan θ).

Evenwicht van pen B

2·Flink·sin 25° = 200
Flink = 236,6 N

Klemkracht

Q = Flink·cos 25° = 200/(2·tan 25°) = 214,5 N

Antwoord

Q = 214,5 N

De krachtverhouding Q/F = 1,072 groeit onbeperkt als de schakels strekken.

8.Raamwerken en machines

Antwoord: F = 1278 N

Machines: tangen, hefbomen, schakelwerk en klemmen zetten een ingaande kracht om in een grotere of anders gerichte uitgaande kracht. Teken één onderdeel als vrij lichaam en neem momenten om zijn draaipunt: de pennenkracht valt weg, en Fin·a = Fuit·b geeft het mechanisch voordeel a/b. De pennenkracht volgt dan uit ΣF = 0 voor hetzelfde onderdeel. In een kniehefboom komen twee schakels onder een kleine hoek θ samen; elke schakel is een tweekrachtsstaaf, dus een kleine kracht F in het gewricht veroorzaakt grote schakelkrachten F/(2 sin θ) en een klemkracht F/(2 tan θ).

Schakelhoek

sin θ = 25/120 = 0,2083, θ = 12,02°

Schakelkracht

Flink = Q/cos θ = 3067 N

Kracht in B

F = 2·Flink·sin θ = 2·3000·tan θ = 1278 N

Antwoord

F = 1278 N
9.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: Mmax = 131,3 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

ΣMA = 0: RB·8 = 70·2 + 35·5
RB = 315/8 = 39,38 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 39,38 = 65,63 kN

Moment onder elke last

Houd het deel links van elke last over.

onder P1: M = RA·2 = 65,63·2 = 131,3 kN·m
onder P2: M = RB·3 = 39,38·3 = 118,1 kN·m

Grootste waarde

Mmax = 131,3 kN·m (onder P1)

Antwoord

Mmax = 131,3 kN·m
10.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: Mmax = 33,33 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 24·2 = 48 kN, aangrijpend op x̄ = 1 m
ΣMA = 0: RB·6 = 24·2·1
RB = 48/6 = 8 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 8 = 40 kN

Dwarskracht nul

De dwarskracht begint bij RA, blijft constant over elk onbelast deel en daalt met helling w binnen de belasting.

RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 40/24 = 1,667 m

Maximaal moment

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 0)²/2 = 40·1,667 − 24·1,667²/2 = 33,33 kN·m

Antwoord

Mmax = 33,33 kN·m
11.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: Ix = 39,19 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: Af = 120·20 = 2400 mm², yf = 260 + 20/2 = 270 mm
lijf: Aw = 10·260 = 2600 mm², yw = 260/2 = 130 mm

Zwaartepunt

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·270 + 2600·130)/5000 = 197,2 mm

Stelling van Steiner

flens: 120·20³/12 + 2400·(270 − 197,2)² = 1,28 × 10⁷ mm⁴
lijf: 10·260³/12 + 2600·(130 − 197,2)² = 2,639 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,28 × 10⁷ + 2,639 × 10⁷ = 3,919 × 10⁷ mm⁴ = 39,19 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

Ix = 39,19 × 10⁶ mm⁴
12.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σboven = 45,22 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: Af = 260·15 = 3900 mm², yf = 300 + 15/2 = 307,5 mm
lijf: Aw = 12·300 = 3600 mm², yw = 300/2 = 150 mm

Zwaartepunt

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3900·307,5 + 3600·150)/7500 = 231,9 mm

Stelling van Steiner

flens: 260·15³/12 + 3900·(307,5 − 231,9)² = 2,236 × 10⁷ mm⁴
lijf: 12·300³/12 + 3600·(150 − 231,9)² = 5,115 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2,236 × 10⁷ + 5,115 × 10⁷ = 7,351 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De bovenrand ligt h − ȳ van de as.

y = 315 − 231,9 = 83,1 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·83,1/7,351 × 10⁷ = 45,22 MPa

Antwoord

σboven = 45,22 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics