Statica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Grootte: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Eenheidsvector: û = a/|a|
Componenten uit een hoek: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Inwendig product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b: a·b/|b|
Arbeid: W = F·d
Uitwendig product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Oppervlakken: parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O: M_O = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum: V = |a·(b × c)|

Methode

Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Raamwerken en machines

Evenwicht van elke staaf: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf: kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht: gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht: F = √(F_x² + F_y²)
Hefboom, tang, hoekhefboom: F_in·a = F_out·b
Kniehefboom: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting

Methode

Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Oefenopgaven

1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld

Bepaal de hoek θ tussen de vectoren a = (1, −3, −3) en b = (−6, −1, −5), in graden.

a = (1, −3, −3)b = (−6, −1, −5)

θ = °

2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk

De eenheidsvector n̂ staat loodrecht op zowel a = (−5, −4, −2) als b = (−3, 3, −5) en heeft een positieve z-component. Bepaal zijn y-component n̂_y.

a = (−5, −4, −2)b = (−3, 3, −5)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie R_A.

L = 6 mP₁ = 15 kN op 2,5 mP₂ = 40 kN op 4,5 m

R_A = kN

4.Oplegreacties van balkenMoeilijk

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie R_B.

L = 5 mP = 30 kN op 1,5 mw = 5 kN/m van 1 tot 2 m

R_B = kN

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 5 mhoogte = 3 mB ligt 3 m van Averticale belasting = 25 kN

F_AB = kN

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 5 mhoogte = 2 mB ligt 2 m van Averticale belasting = 15 kNhorizontale belasting = 15 kN →

F_AB = kN

7.Raamwerken en machinesGemiddeld

Het getoonde A-frame staat op een scharnier in A en een rol in B, 2 m uit elkaar, met de topscharnier C op 2,5 m hoogte en de horizontale trekstang DE 1,5 m boven de grond. Een verticale belasting van 2 kN werkt op poot AC in K, 0,75 m (horizontaal) van A. Bepaal de trekkracht T in de trekstang.

P = 2 kNAB = 2 mhoogte van C = 2,5 mhoogte van DE = 1,5 mhorizontale afstand A tot K = 0,75 m

T = kN

8.Raamwerken en machinesMoeilijk

Het getoonde raamwerk heeft scharnieren in A, B en C; A en C zitten 3 m uit elkaar aan de grond vast, en B ligt 2,5 m hoog en 1,8 m rechts van A. Staaf AB draagt een verticale belasting van 6 kN in K, 0,45 m (horizontaal) van A, en in B werkt een horizontale belasting van 10 kN naar rechts op staaf AB. Bepaal de grootte van de horizontale reactie A_x in A.

P = 6 kNQ = 10 kNL = 3 mH = 2,5 mhorizontale afstand A tot B = 1,8 mhorizontale afstand A tot K = 0,45 m

A_x = kN

9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 1 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Hij draagt een puntlast P₁ tussen de opleggingen en een puntlast P₂ in C. Vind het buigend moment M_x onder de last P₁. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 5 mP₁ = 70 kN op 2,5 mP₂ = 50 kN op 5 mopleggingen bij x = 0 en x = 4 m

M_x = kN·m

10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 1,5 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Over de hele lengte A–C werkt een gelijkmatig verdeelde belasting w. Vind de afstand x_c van A tot het momentennulpunt tussen de opleggingen (waar het buigend moment van teken wisselt).

L = 6,5 mw = 6 kN/m van 0 tot 6,5 mopleggingen bij x = 0 en x = 5 m

x_c = m

11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 30 kN·m. Vind de buigspanning σ_onder aan de onderrand.

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 300 mmM = 30 kN·m

σ_onder = MPa

3Oplossingen

1.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: θ = 69,54 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Inwendig product

a·b = 1·(−6) + (−3)·(−1) + (−3)·(−5) = 12

Groottes

|a| = √(1² + (−3)² + (−3)²) = 4,359

|b| = √((−6)² + (−1)² + (−5)²) = 7,874

Hoek

cos θ = 12/(4,359·7,874) = 0,3496

θ = arccos(0,3496) = 69,54°

Antwoord

θ = 69,54°

2.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: n̂_y = 0,4521

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Uitwendig product

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−4)·(−5) − (−2)·3 = 26

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−2)·(−3) − (−5)·(−5) = −19

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−5)·3 − (−4)·(−3) = −27

Normeren

De z-component van a × b is negatief, dus gebruik −(a × b).

|a × b| = √(26² + (−19)² + (−27)²) = 42,02

n̂ = −(26, −19, −27)/42,02 = (−0,6187, 0,4521, 0,6425)

n̂_y = 0,4521

Antwoord

n̂_y = 0,4521

3.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_A = 18,75 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·2,5 + 40·4,5

R_B = 217,5/6 = 36,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 36,25 = 18,75 kN

Antwoord

R_A = 18,75 kN

4.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_B = 10,5 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 5·1 = 5 kN, aangrijpend op x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·1,5 + 5·1·1,5

R_B = 52,5/5 = 10,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 10,5 = 24,5 kN

Antwoord

R_B = 10,5 kN

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AB = −14,14 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·3 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 15 = 10 kN

Knoop A

Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −10/0,7071 = −14,14 kN

Antwoord

F_AB = −14,14 kN (druk)

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AB = −4,243 kN

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·2 + 15·2 → C_y = 12 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 12 = 3 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

Knoop A

Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.

sin α = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −3/0,7071 = −4,243 kN

Antwoord

F_AB = −4,243 kN (druk)

7.Raamwerken en machines

Antwoord: T = 0,75 kN

Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.

Heel raamwerk: momenten om A

B_y = 2·0,75/2 = 0,75 kN

Poot BC: momenten om C

0,75·1 = T·1

T = 0,75 kN

Antwoord

T = 0,75 kN

8.Raamwerken en machines

Antwoord: A_x = 5,568 kN

Richting van BC

BC = 2,773 m, cos = 0,4327, sin = 0,9015

Heel raamwerk: momenten om A

F_BC·0,9015·3 = 6·0,45 + 10·2,5

F_BC = 10,24 kN

Horizontaal evenwicht

A_x + 10 − 10,24·0,4327 = 0

A_x = −5,568 kN → |A_x| = 5,568 kN

Antwoord

A_x = 5,568 kN

Het minteken betekent dat A_x naar links wijst.

9.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 34,38 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk. De last op het overstek levert ook een moment om A.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 70·2,5 + 50·5

R_B = 425/4 = 106,3 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 106,3 = 13,75 kN

Snede onder P₁, houd het linkerdeel over

M_x = R_A·2,5 = 13,75·2,5 = 34,38 kN·m

Antwoord

M_x = 34,38 kN·m

10.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: x_c = 4,55 m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk, inclusief de belasting op het overstek.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 6·6,5 = 39 kN, aangrijpend op x̄ = 3,25 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·6,5·3,25

R_B = 126,8/5 = 25,35 kN

ΣF_y = 0: R_A = 39 − 25,35 = 13,65 kN

Moment nul

Tussen de opleggingen is M(x) = R_A·x − w·x²/2. Afgezien van x = 0 is het nul bij x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·13,65/6 = 4,55 m

Antwoord

x_c = 4,55 m

11.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 42,57 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 300·20 = 6000 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

lijf: A_w = 20·200 = 4000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·210 + 4000·100)/10000 = 166 mm

Stelling van Steiner

flens: 300·20³/12 + 6000·(210 − 166)² = 1,182 × 10⁷ mm⁴

lijf: 20·200³/12 + 4000·(100 − 166)² = 3,076 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,182 × 10⁷ + 3,076 × 10⁷ = 4,257 × 10⁷ mm⁴ = 42,57 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 42,57 × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_onder = 88,44 MPa

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 300·20 = 6000 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

lijf: A_w = 12·300 = 3600 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·310 + 3600·150)/9600 = 250 mm

Stelling van Steiner

flens: 300·20³/12 + 6000·(310 − 250)² = 2,18 × 10⁷ mm⁴

lijf: 12·300³/12 + 3600·(150 − 250)² = 6,3 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,18 × 10⁷ + 6,3 × 10⁷ = 8,48 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De onderrand ligt ȳ van de as.

y = 250 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·250/8,48 × 10⁷ = 88,44 MPa

Antwoord

σ_onder = 88,44 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics

Statica: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Methode

Oplegreacties van balken

Methode

Vakwerk: knopenmethode

Methode

Raamwerken en machines

Methode

Dwarskracht en buigend moment

Methode

Zwaartepunt en traagheidsmoment

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Inwendig product

Groottes

Hoek

Antwoord

Uitwendig product

Normeren

Antwoord

Vrijlichaamsschema

Evenwicht

Antwoord

Vrijlichaamsschema

Evenwicht

Antwoord

Oplegreacties

Knoop A

Antwoord

Oplegreacties

Knoop A

Antwoord

Heel raamwerk: momenten om A

Poot BC: momenten om C

Antwoord

Richting van BC

Heel raamwerk: momenten om A

Horizontaal evenwicht

Antwoord

Oplegreacties

Snede onder P1, houd het linkerdeel over

Antwoord

Oplegreacties

Moment nul

Antwoord

Verdeel in twee rechthoeken

Zwaartepunt

Stelling van Steiner

Antwoord

Verdeel in twee rechthoeken

Zwaartepunt

Stelling van Steiner

Buigspanning

Antwoord

Snede onder P₁, houd het linkerdeel over