Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Vectoren: inwendig en uitwendig product
Grootte
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Eenheidsvector
û = a/|a|
Componenten uit een hoek
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Inwendig product
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b
a·b/|b|
Arbeid
W = F·d
Uitwendig product
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Oppervlakken
parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O
MO = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum
V = |a·(b × c)|
Methode
Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.
Oplegreacties van balken
Evenwicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Moment
M = F·d
Methode
Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣFy = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.
Vakwerk: knopenmethode
Knopenmethode
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Snedemethode
ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht
positief = trek, negatief = druk
Methode
Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣFx = 0 en ΣFy = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.
Raamwerken en machines
Evenwicht van elke staaf
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf
kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht
gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht
F = √(Fx² + Fy²)
Hefboom, tang, hoekhefboom
Fin·a = Fout·b
Kniehefboom
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Methode
Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣFx = 0 en ΣFy = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.
Dwarskracht en buigend moment
Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8
Methode
Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.
Zwaartepunt en traagheidsmoment
Zwaartepunt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechthoek
I = bh³/12
Stelling van Steiner
I = Ic + A·d²
Samengestelde doorsnede
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Oefenopgaven
1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld
Bepaal het inwendig product a·b van a = (−3, −3, 4) en b = (4, 7, −2).
a = (−3, −3, 4)b = (4, 7, −2)
a·b =
2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk
Bepaal voor a = (0, −5, −4) en b = (−3, 6, 0) de z-component (a × b)z van het uitwendig product a × b.
a = (0, −5, −4)b = (−3, 6, 0)
(a × b)z =
3.Oplegreacties van balkenGemiddeld
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Hij draagt een puntlast P op 3,5 m van A en een rechtsdraaiend koppel M op 5,5 m van A. Vind de verticale reactie RA, met omhoog positief.
L = 6 mP = 35 kN op 3,5 mM = 60 kN·m (rechtsdraaiend) op 5,5 m
RA = kN
4.Oplegreacties van balkenMoeilijk
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Een last P werkt op 7 m van A, onder een hoek van 40° met de horizontaal, en een verticale last Q werkt op 4 m van A. Vind de grootte van de totale reactiekracht RA in het scharnier A.
L = 10 mP = 30 kN op 7 m, θ = 40°Q = 60 kN op 4 m
RA = kN
5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld
Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.
C: 20 kN ↓D: 40 kN ↓G: 20 kN ↓H: 15 kN ↓
1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf FC
13staaf HC
6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk
Gebruik de knopenmethode om de kracht FBC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.
overspanning = 6 mhoogte = 2 mB ligt 4 m van Averticale belasting = 40 kNhorizontale belasting = 20 kN →
FBC = kN
7.Raamwerken en machinesGemiddeld
Een horizontale balk AB is in A scharnierend aan een muur bevestigd en wordt gesteund door de stut CD, die in C, 1,2 m onder A, scharnierend aan de muur zit. In B hangt een last van 5 kN. Verwaarloos de gewichten. Bepaal de grootte van de pennenkracht A op de balk in A.
P = 5 kNAD = 1,5 mAB = 2,4 mAC = 1,2 m
A = kN
8.Raamwerken en machinesMoeilijk
Een homogene horizontale giek AB met een gewicht van 3 kN is in A scharnierend aan een muur bevestigd en wordt vastgehouden door een kabel van zijn uiteinde B naar het punt C op de muur, 1,5 m boven A. In B hangt een last van 2 kN. Bepaal de spanning T in de kabel.
W = 2 kNWb = 3 kNAB = 2,5 mAC = 1,5 m
T = kN
9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
Vind het buigend moment Mx in de doorsnede x = 2,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.
L = 10 mw = 4 kN/m van 0 tot 10 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.
25 kN @ 0 m45 kN @ 6 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld
Een hol rechthoekig profiel (koker) heeft buitenbreedte B = 220 mm, buitenhoogte H = 375 mm en een gelijkmatige wanddikte t = 20 mm. Vind de traagheidsstraal r om de horizontale zwaartepuntsas.
B = 220 mmH = 375 mmt = 20 mm
r = mm
12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk
Een gietijzeren balk heeft het getekende T-profiel, met de flens boven. De toelaatbare spanningen zijn 30 MPa op trek en 100 MPa op druk. Vind het grootste doorbuigende (sagging) moment Mallow dat de balk kan dragen.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Vermenigvuldig overeenkomstige componenten en tel op
Negatief: de hoek tussen de vectoren is groter dan 90°.
2.Vectoren: inwendig en uitwendig product
Antwoord: (a × b)z = −15
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Uitwendig product, component voor component
(a × b)x = aybz − azby = (−5)·0 − (−4)·6 = 24
(a × b)y = azbx − axbz = (−4)·(−3) − 0·0 = 12
(a × b)z = axby − aybx = 0·6 − (−5)·(−3) = −15
Gevraagde component
(a × b)z = −15
Antwoord
(a × b)z = −15
Controle: a × b staat loodrecht op beide vectoren, dus het inwendig product met a en met b is nul.
3.Oplegreacties van balken
Antwoord: RA = 4,583 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.
Momenten om A
Linksom positief.
ΣMA = 0: RB·6 − 35·3,5 − 60 = 0
RB = 182,5/6 = 30,42 kN
Verticaal evenwicht
RA = 35 − 30,42 = 4,583 kN
Antwoord
RA = 4,583 kN
Een negatieve reactie werkt omlaag.
4.Oplegreacties van balken
Antwoord: RA = 47,69 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.
Componenten van P
Pv = 30·sin 40° = 19,28 kN
Ph = 30·cos 40° = 22,98 kN
Reacties
ΣMA = 0: RB·10 = 19,28·7 + 60·4 → RB = 37,5 kN
Ay = 19,28 + 60 − 37,5 = 41,79 kN
Ax = Ph = 22,98 kN
Resultante in A
RA = √(22,98² + 41,79²) = 47,69 kN
Antwoord
RA = 47,69 kN
5.Vakwerk: knopenmethode
Antwoord: staaf BF
Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.
Knooppunt B
AB en BC liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen BF over.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Controleer met de knooppuntenmethode
Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).
Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.
Oplegreacties
Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.
ΣMA = 0: Cy·6 = 40·4 + 20·2 → Cy = 33,33 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 33,33 = 6,667 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN
Knoop C
De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.
sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071
Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.
Stutkracht
FCD = 5·2,4/(0,6247·1,5) = 12,81 kN
Componenten in A
Ax = FCD·cos α = 10 kN (naar de muur toe)
Ay = 5 − FCD·sin α = −3 kN
Grootte
A = √(10² + −3²) = 10,44 kN
Antwoord
A = 10,44 kN
Een negatieve Ay betekent dat de muur de balk in A omlaag trekt.
8.Raamwerken en machines
Antwoord: T = 6,803 kN
Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.
Kabelhoek
BC = √(2,5² + 1,5²) = 2,915 m, sin β = 0,5145
Momenten om A
T·0,5145·2,5 = 2·2,5 + 3·1,25
T = 6,803 kN
Antwoord
T = 6,803 kN
9.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: Mx = 37,5 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.
Oplegreacties
Evenwicht van de hele balk.
Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, aangrijpend op x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 4·10·5
RB = 200/10 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
Snijd bij x = 2,5 m en houd het linkerdeel over
Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.
M = RA·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)
Mx = 20·2,5 − 4·2,5·1,25 = 37,5 kN·m
Antwoord
Mx = 37,5 kN·m
10.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: E (x = 4 m)
Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).
Oplegreacties
Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.
R1 = 3,333 kN, R2 = 66,67 kN
Buigend moment bij elke markering
Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.
MA = 0, MB = −25, MC = −46,67, MD = −68,33, ME = −90 kN·m, MF = −45, MG = 0
Antwoord
Markering E: ME = −90 kN·m
11.Zwaartepunt en traagheidsmoment
Antwoord: r = 134,7 mm
Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = Ic + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is. De traagheidsstraal r = √(I/A) is de afstand waarop de hele oppervlakte dezelfde I zou geven; je gebruikt hem bij knik van kolommen.
Netto oppervlakte en traagheidsmoment
b = 180 mm, h = 335 mm
A = BH − bh = 220·375 − 180·335 = 22200 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 4,029 × 10⁸ mm⁴
Traagheidsstraal
r = √(I/A) = √(4,029 × 10⁸/22200) = 134,7 mm
Antwoord
r = 134,7 mm
12.Zwaartepunt en traagheidsmoment
Antwoord: Mallow = 3,339 kN·m
Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.