Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Vectoren: inwendig en uitwendig product
Grootte
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Eenheidsvector
û = a/|a|
Componenten uit een hoek
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Inwendig product
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b
a·b/|b|
Arbeid
W = F·d
Uitwendig product
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Oppervlakken
parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O
MO = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum
V = |a·(b × c)|
Methode
Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.
Oplegreacties van balken
Evenwicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Moment
M = F·d
Methode
Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣFy = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.
Vakwerk: knopenmethode
Knopenmethode
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Snedemethode
ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht
positief = trek, negatief = druk
Methode
Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣFx = 0 en ΣFy = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.
Raamwerken en machines
Evenwicht van elke staaf
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf
kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht
gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht
F = √(Fx² + Fy²)
Hefboom, tang, hoekhefboom
Fin·a = Fout·b
Kniehefboom
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Methode
Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣFx = 0 en ΣFy = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.
Dwarskracht en buigend moment
Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8
Methode
Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.
Zwaartepunt en traagheidsmoment
Zwaartepunt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechthoek
I = bh³/12
Stelling van Steiner
I = Ic + A·d²
Samengestelde doorsnede
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Oefenopgaven
1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld
Bepaal de scalaire projectie compb a van a = (−7, 3, −6) op b = (1, 1, 1), dat wil zeggen de component van a in de richting van b.
a = (−7, 3, −6)b = (1, 1, 1)
compb a =
2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk
De eenheidsvector n̂ staat loodrecht op zowel a = (−4, 3, −3) als b = (−4, −1, 5) en heeft een positieve z-component. Bepaal zijn x-component n̂x.
a = (−4, 3, −3)b = (−4, −1, 5)n̂z > 0
n̂x =
3.Oplegreacties van balkenGemiddeld
De balk heeft een scharnier in A en een rol in B, op 3 m van A, en steekt voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Vind de verticale reactie RB, met omhoog positief.
AB = 3 mAC = 5 mP1 = 80 kN op 2,5 mP2 = 10 kN op 5 m
RB = kN
4.Oplegreacties van balkenMoeilijk
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RB.
L = 6 mP = 25 kN op 4 mw = 2 kN/m van 3 tot 6 m
RB = kN
5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld
Gebruik de knopenmethode om de kracht FAB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.
overspanning = 4 mhoogte = 3 mB ligt 3 m van Averticale belasting = 35 kN
FAB = kN
6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk
Gebruik de knopenmethode om de kracht FAC in staaf AC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.
overspanning = 5 mhoogte = 4 mB ligt 2 m van Averticale belasting = 40 kNhorizontale belasting = 20 kN →
FAC = kN
7.Raamwerken en machinesGemiddeld
Het getoonde A-frame staat op een scharnier in A en een rol in B, 3,2 m uit elkaar. De poten komen samen in het scharnier C, 4,5 m hoog, en de horizontale trekstang DE zit 1,2 m boven de grond. In C werkt een belasting van 4 kN. Bepaal de grootte van de kracht C die de pen C op poot BC uitoefent.
P = 4 kNAB = 3,2 mhoogte van C = 4,5 mhoogte van DE = 1,2 m
C = kN
8.Raamwerken en machinesMoeilijk
Een homogene horizontale giek AB met een gewicht van 3 kN is in A scharnierend aan een muur bevestigd en wordt vastgehouden door een kabel van B naar het punt C op de muur, 3 m boven A. In B hangt een last van 4 kN. Bepaal de grootte van de penreactie A.
W = 4 kNWb = 3 kNAB = 3 mAC = 3 m
A = kN
9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
De vrij opgelegde balk draagt twee puntlasten. Vind het maximale buigend moment Mmax in de balk.
L = 6 mP1 = 55 kN op 1,5 mP2 = 45 kN op 2,5 m
Mmax = kN·m
10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning en een puntlast P. Vind het maximale buigend moment Mmax in de balk.
L = 6 mP = 20 kN op 4,5 mw = 5 kN/m van 0 tot 6 m
Mmax = kN·m
11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld
Vind het traagheidsmoment Ix van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.
bf = 300 mmtf = 15 mmtw = 10 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk
Een plaat van 150 mm × 150 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 40 mm breed en 40 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 60 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment Ix om de horizontale as door het zwaartepunt.
b = 150 mmh = 150 mmuitsparing: 40 × 40 mmmiddelpunt van het gat: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Oplossingen
1.Vectoren: inwendig en uitwendig product
Antwoord: compb a = −5,774
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Inwendig product
a·b = (−7)·1 + 3·1 + (−6)·1 = −10
Lengte van b
|b| = √(1² + 1² + 1²) = 1,732
Scalaire projectie
compb a = a·b/|b| = −10/1,732 = −5,774
Antwoord
compb a = −5,774
Negatief: a heeft een component die tegen b in wijst.
2.Vectoren: inwendig en uitwendig product
Antwoord: n̂x = 0,318
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Uitwendig product
(a × b)x = aybz − azby = 3·5 − (−3)·(−1) = 12
(a × b)y = azbx − axbz = (−3)·(−4) − (−4)·5 = 32
(a × b)z = axby − aybx = (−4)·(−1) − 3·(−4) = 16
Normeren
De z-component van a × b is al positief.
|a × b| = √(12² + 32² + 16²) = 37,74
n̂ = (12, 32, 16)/37,74 = (0,318, 0,848, 0,424)
n̂x = 0,318
Antwoord
n̂x = 0,318
3.Oplegreacties van balken
Antwoord: RB = 83,33 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.
Momenten om A
Linksom positief.
ΣMA = 0: RB·3 = 80·2,5 + 10·5
RB = 250/3 = 83,33 kN
Verticaal evenwicht
RA = 80 + 10 − 83,33 = 6,667 kN
Antwoord
RB = 83,33 kN
4.Oplegreacties van balken
Antwoord: RB = 21,17 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.
Vrijlichaamsschema
Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.
Evenwicht
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 2·3 = 6 kN, aangrijpend op x̄ = 4,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 25·4 + 2·3·4,5
RB = 127/6 = 21,17 kN
ΣFy = 0: RA = 31 − 21,17 = 9,833 kN
Antwoord
RB = 21,17 kN
5.Vakwerk: knopenmethode
Antwoord: FAB = −12,37 kN
Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.
Oplegreacties
Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.
ΣMA = 0: Cy·4 = 35·3 → Cy = 26,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 26,25 = 8,75 kN
Knoop A
Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.
sin α = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −8,75/0,7071 = −12,37 kN
Antwoord
FAB = −12,37 kN (druk)
6.Vakwerk: knopenmethode
Antwoord: FAC = 24 kN
Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.
Oplegreacties
Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.
ΣMA = 0: Cy·5 = 40·2 + 20·4 → Cy = 32 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 32 = 8 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN
Knoop C
De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.
Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.
Trekstangkracht uit poot BC
By = 2 kN
T = 2·1,6/3,3 = 0,9697 kN
Componenten van de pennenkracht op BC
Cx = T = 0,9697 kN, Cy = −By = −2 kN
Grootte
C = √(0,9697² + 2²) = 2,223 kN
Antwoord
C = 2,223 kN
8.Raamwerken en machines
Antwoord: A = 5,701 kN
Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.
Kabelspanning
T = (4 + 3/2)/0,7071 = 7,778 kN
Componenten in A
Ax = T·cos β = 5,5 kN
Ay = 4 + 3 − T·sin β = 1,5 kN
Grootte
A = √(5,5² + 1,5²) = 5,701 kN
Antwoord
A = 5,701 kN
9.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: Mmax = 113,8 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.
Oplegreacties
Evenwicht van de hele balk.
ΣMA = 0: RB·6 = 55·1,5 + 45·2,5
RB = 195/6 = 32,5 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 32,5 = 67,5 kN
Moment onder elke last
Houd het deel links van elke last over.
onder P1: M = RA·1,5 = 67,5·1,5 = 101,3 kN·m
onder P2: M = RB·3,5 = 32,5·3,5 = 113,8 kN·m
Grootste waarde
Mmax = 113,8 kN·m (onder P2)
Antwoord
Mmax = 113,8 kN·m
10.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: Mmax = 40 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.
Oplegreacties
Evenwicht van de hele balk.
Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 20·4,5 + 5·6·3
RB = 180/6 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 30 = 20 kN
Waar is V = 0?
RA − w·x0 = 0 → x0 = 20/5 = 4 m
Maximaal moment
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 20·4 − 5·4²/2 = 40 kN·m
Antwoord
Mmax = 40 kN·m
Dat is op x = 4 m vanaf A.
11.Zwaartepunt en traagheidsmoment
Antwoord: Ix = 45,89 × 10⁶ mm⁴
Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.
Verdeel in twee rechthoeken
Meet elke y vanaf de onderrand.
flens: Af = 300·15 = 4500 mm², yf = 260 + 15/2 = 267,5 mm
Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft Ic = bh³/12 en een cirkel Ic = πd⁴/64.
Zwaartepunt
ȳ = (22500·75 − 1600·60)/(22500 − 1600) = 76,15 mm