Statica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Grootte: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Eenheidsvector: û = a/|a|
Componenten uit een hoek: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Inwendig product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b: a·b/|b|
Arbeid: W = F·d
Uitwendig product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Oppervlakken: parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O: M_O = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum: V = |a·(b × c)|

Methode

Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Raamwerken en machines

Evenwicht van elke staaf: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf: kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht: gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht: F = √(F_x² + F_y²)
Hefboom, tang, hoekhefboom: F_in·a = F_out·b
Kniehefboom: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting

Methode

Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Oefenopgaven

1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld

Een constante kracht F = (30, 20, −10) N werkt op een voorwerp terwijl het zich in een rechte lijn verplaatst van punt A(5, 1, 3) naar punt B(−4, −5, 1). Coördinaten zijn in meter. Bepaal de arbeid W die de kracht verricht.

F = (30, 20, −10) NA(5, 1, 3) mB(−4, −5, 1) m

W = J

2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk

Bepaal het volume V van het parallellepipedum waarvan de ribben vanuit één hoekpunt a = (4, 3, −4), b = (0, −5, 5) en c = (−4, −5, −2) zijn.

a = (4, 3, −4)b = (0, −5, 5)c = (−4, −5, −2)

V =

3.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie R_B.

L = 6 mP₁ = 35 kN op 1,5 mP₂ = 45 kN op 3 m

R_B = kN

4.Oplegreacties van balkenMoeilijk

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie R_A.

L = 5 mP = 25 kN op 2 mw = 2 kN/m van 2 tot 4 m

R_A = kN

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_BC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 5 mhoogte = 2 mB ligt 2 m van Averticale belasting = 10 kN

F_BC = kN

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AC in staaf AC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 5 mhoogte = 2 mB ligt 2 m van Averticale belasting = 35 kNhorizontale belasting = 15 kN ←

F_AC = kN

7.Raamwerken en machinesGemiddeld

Het getoonde raamwerk heeft scharnieren in A, B en C; A en C zitten 8 m uit elkaar aan de grond vast, en B ligt 3 m boven de grond en 4,8 m rechts van A. Een verticale belasting van 10 kN werkt op staaf AB in K, 2,4 m (horizontaal) van A. Bepaal de kracht F_BC in staaf BC.

P = 10 kNL = 8 mH = 3 mhorizontale afstand A tot B = 4,8 mhorizontale afstand A tot K = 2,4 m

F_BC = kN

8.Raamwerken en machinesMoeilijk

De balk AB van de getoonde wandconsole is in A scharnierend bevestigd en wordt gesteund door de stut CD (C ligt 0,8 m onder A). De balk draagt over zijn hele lengte een gelijkmatig verdeelde belasting van 1 kN/m en een puntlast van 8 kN aan zijn vrije uiteinde B. Bepaal de kracht F_CD in de stut.

w = 1 kN/mP = 8 kNAD = 1,6 mAB = 4 mAC = 0,8 m

F_CD = kN

9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

35 kN @ 6 m55 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting over een deel van de overspanning. Vind de afstand x₀ van A tot de doorsnede waar het buigend moment het grootst is.

L = 4 mw = 6 kN/m van 0 tot 2 m

x₀ = m

11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een ronde buis heeft buitendiameter D = 290 mm en binnendiameter d = 266 mm. Vind de traagheidsstraal r om de horizontale zwaartepuntsas.

D = 290 mmd = 266 mm

r = mm

12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 20 kN·m. Vind de buigspanning σ_onder aan de onderrand.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 240 mmM = 20 kN·m

σ_onder = MPa

3Oplossingen

1.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: W = −370 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Verplaatsing

d = B − A = (−4, −5, 1) − (5, 1, 3) = (−9, −6, −2) m

Arbeid

W = F·d = 30·(−9) + 20·(−6) + (−10)·(−2) = −370 J

Antwoord

W = −370 J

Negatieve arbeid: de kracht werkt grotendeels tegen de beweging in.

2.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: V = 160

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Uitwendig product b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−5)·(−2) − 5·(−5) = 35

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 5·(−4) − 0·(−2) = −20

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 0·(−5) − (−5)·(−4) = −20

Inwendig product met a

a·(b × c) = 4·35 + 3·(−20) + (−4)·(−20) = 160

V = |160| = 160

Antwoord

V = 160

3.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_B = 31,25 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·1,5 + 45·3

R_B = 187,5/6 = 31,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 31,25 = 48,75 kN

Antwoord

R_B = 31,25 kN

4.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_A = 16,6 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·2 + 2·2·3

R_B = 62/5 = 12,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 29 − 12,4 = 16,6 kN

Antwoord

R_A = 16,6 kN

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_BC = −7,211 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 10·2 → C_y = 4 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 4 = 6 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −4/0,5547 = −7,211 kN

Antwoord

F_BC = −7,211 kN (druk)

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AC = 12 kN

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 35·2 − 15·2 → C_y = 8 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 8 = 27 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −8/0,5547 = −14,42 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−14,42)·0,8321 = 12 kN

Antwoord

F_AC = 12 kN (trek)

7.Raamwerken en machines

Antwoord: F_BC = 4,386 kN

Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.

Tweekrachtsstaaf BC

BC = √(3,2² + 3²) = 4,386 m

Heel raamwerk: momenten om A

De grond duwt in C op BC langs CB; zijn horizontale component gaat door A, alleen de verticale heeft een moment.

F_BC·(3/4,386)·8 = 10·2,4

F_BC = 4,386 kN (druk)

Antwoord

F_BC = 4,386 kN

8.Raamwerken en machines

Antwoord: F_CD = 55,9 kN

Resultante van de gelijkmatig verdeelde belasting

w·L = 1·4 = 4 kN op 2 m

Momenten om A voor de balk

F_CD·0,4472·1,6 = 4·2 + 8·4 = 40 kN·m

F_CD = 55,9 kN

Antwoord

F_CD = 55,9 kN

9.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: D (x = 6 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 26,67 kN, R₂ = 63,33 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 53,33, M_C = 106,7, M_D = 160 kN·m, M_E = 143,3, M_F = 126,7, M_G = 0

Antwoord

Markering D: M_D = 160 kN·m

10.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: x₀ = 1,5 m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, aangrijpend op x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·2·1

R_B = 12/4 = 3 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 3 = 9 kN

Dwarskracht nul

De dwarskracht begint bij R_A, blijft constant over elk onbelast deel en daalt met helling w binnen de belasting.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 9/6 = 1,5 m

Antwoord

x₀ = 1,5 m

11.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: r = 98,38 mm

Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = I_c + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is. De traagheidsstraal r = √(I/A) is de afstand waarop de hele oppervlakte dezelfde I zou geven; je gebruikt hem bij knik van kolommen.

Netto oppervlakte en traagheidsmoment

A = π(D² − d²)/4 = 10480 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,014 × 10⁸ mm⁴

Traagheidsstraal

r = √(I/A) = √(1,014 × 10⁸/10480) = 98,38 mm

Antwoord

r = 98,38 mm

12.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_onder = 71,52 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

lijf: A_w = 18·240 = 4320 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·245 + 4320·120)/7120 = 169,2 mm

Stelling van Steiner

flens: 280·10³/12 + 2800·(245 − 169,2)² = 1,613 × 10⁷ mm⁴

lijf: 18·240³/12 + 4320·(120 − 169,2)² = 3,118 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,613 × 10⁷ + 3,118 × 10⁷ = 4,73 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De onderrand ligt ȳ van de as.

y = 169,2 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·169,2/4,73 × 10⁷ = 71,52 MPa

Antwoord

σ_onder = 71,52 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics