Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Vectoren: inwendig en uitwendig product
Grootte
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Eenheidsvector
û = a/|a|
Componenten uit een hoek
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Inwendig product
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b
a·b/|b|
Arbeid
W = F·d
Uitwendig product
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Oppervlakken
parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O
MO = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum
V = |a·(b × c)|
Methode
Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.
Oplegreacties van balken
Evenwicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Moment
M = F·d
Methode
Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣFy = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.
Vakwerk: knopenmethode
Knopenmethode
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Snedemethode
ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht
positief = trek, negatief = druk
Methode
Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣFx = 0 en ΣFy = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.
Raamwerken en machines
Evenwicht van elke staaf
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf
kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht
gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht
F = √(Fx² + Fy²)
Hefboom, tang, hoekhefboom
Fin·a = Fout·b
Kniehefboom
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Methode
Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣFx = 0 en ΣFy = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.
Dwarskracht en buigend moment
Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8
Methode
Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.
Zwaartepunt en traagheidsmoment
Zwaartepunt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechthoek
I = bh³/12
Stelling van Steiner
I = Ic + A·d²
Samengestelde doorsnede
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Oefenopgaven
1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld
Een constante kracht F = (30, −10, −10) N werkt op een voorwerp terwijl het zich in een rechte lijn verplaatst van punt A(−5, 0, −5) naar punt B(3, 4, −1). Coördinaten zijn in meter. Bepaal de arbeid W die de kracht verricht.
F = (30, −10, −10) NA(−5, 0, −5) mB(3, 4, −1) m
W = J
2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk
Bepaal de oppervlakte A van de driehoek met hoekpunten A(1, −3, 4), B(3, −2, 4) en C(0, −2, −4). Coördinaten zijn in meter.
A(1, −3, 4)B(3, −2, 4)C(0, −2, −4)
A = m²
3.Oplegreacties van balkenGemiddeld
De uitkragende ligger is in A in de muur ingeklemd. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P op 3 m van de muur. Vind de grootte van het inklemmingsmoment MA bij de muur.
L = 5 mP = 35 kN op 3 mw = 5 kN/m van 0 tot 5 m
MA = kN·m
4.Oplegreacties van balkenMoeilijk
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Een last P werkt op 1 m van A, onder een hoek van 50° met de horizontaal, en een verticale last Q werkt op 7 m van A. Vind de hoek α tussen de totale reactiekracht in het scharnier A en de horizontaal.
L = 8 mP = 55 kN op 1 m, θ = 50°Q = 55 kN op 7 m
α = °
5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld
Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.
B: 25 kN ↓F: 30 kN ↓G: 25 kN ↓H: 40 kN ↓
1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf BG
13staaf DG
6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk
Gebruik de knopenmethode om de kracht FAB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.
overspanning = 6 mhoogte = 2 mB ligt 1 m van Averticale belasting = 35 kNhorizontale belasting = 15 kN ←
FAB = kN
7.Raamwerken en machinesGemiddeld
Het getoonde A-frame staat op een scharnier in A en een rol in B, 3 m uit elkaar. De poten komen samen in het scharnier C, 4,5 m hoog, en de horizontale trekstang DE zit 1,8 m boven de grond. In C werkt een belasting van 4 kN. Bepaal de grootte van de kracht C die de pen C op poot BC uitoefent.
P = 4 kNAB = 3 mhoogte van C = 4,5 mhoogte van DE = 1,8 m
C = kN
8.Raamwerken en machinesMoeilijk
De balk AB van de getoonde wandconsole is in A scharnierend bevestigd en wordt gesteund door de stut CD (C ligt 0,8 m onder A). De balk draagt over zijn hele lengte een gelijkmatig verdeelde belasting van 2,5 kN/m en een puntlast van 3 kN aan zijn vrije uiteinde B. Bepaal de kracht FCD in de stut.
w = 2,5 kN/mP = 3 kNAD = 1,2 mAB = 3 mAC = 0,8 m
FCD = kN
9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
De uitkragende ligger is ingeklemd in A. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P op 1 m vanaf A. Vind het buigend moment Mx in de doorsnede x = 0,5 m vanaf de inklemming A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.
L = 2,5 mP = 30 kN op 1 mw = 5 kN/m van 0 tot 2,5 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting over een deel van de overspanning. Vind de afstand x0 van A tot de doorsnede waar het buigend moment het grootst is.
L = 10 mw = 24 kN/m van 1 tot 10 m
x0 = m
11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld
Een plaat van 120 mm × 150 mm heeft een rond gat met een diameter van 50 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 52,5 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment Ix om de horizontale as door het zwaartepunt.
b = 120 mmh = 150 mmd = 50 mmmiddelpunt van het gat: y = 52,5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk
Een gietijzeren balk heeft het getekende T-profiel, met de flens boven. De toelaatbare spanningen zijn 40 MPa op trek en 90 MPa op druk. Vind het grootste doorbuigende (sagging) moment Mallow dat de balk kan dragen.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Verplaatsing
d = B − A = (3, 4, −1) − (−5, 0, −5) = (8, 4, 4) m
Arbeid
W = F·d = 30·8 + (−10)·4 + (−10)·4 = 160 J
Antwoord
W = 160 J
2.Vectoren: inwendig en uitwendig product
Antwoord: A = 9,069 m²
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Evenwicht van een uitkragende ligger: een inklemming kan omhoog duwen en ook rotatie tegenhouden, dus ze levert een verticale reactie RA en een inklemmingsmoment MA. ΣFy = 0 geeft RA, en momenten om de muur geven MA = Σ(last × afstand tot de muur). Een verdeelde belasting werkt als haar resultante in het zwaartepunt van het belastingsdiagram.
Resultante van de verdeelde belasting
W = 5·5 = 25 kN, x̄ = 2,5 m
Moment om de muur
MA = P·a + W·x̄ = 35·3 + 25·2,5 = 167,5 kN·m
Antwoord
MA = 167,5 kN·m
4.Oplegreacties van balken
Antwoord: α = 51,05 °
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.
Componenten van P
Pv = 55·sin 50° = 42,13 kN
Ph = 55·cos 50° = 35,35 kN
Reacties
ΣMA = 0: RB·8 = 42,13·1 + 55·7 → RB = 53,39 kN
Ay = 42,13 + 55 − 53,39 = 43,74 kN
Ax = Ph = 35,35 kN
Richting in A
α = atan(Ay/Ax) = atan(43,74/35,35) = 51,05°
Antwoord
α = 51,05°
5.Vakwerk: knopenmethode
Antwoord: staaf CG
Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.
Knooppunt C
BC en CD liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen CG over.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Controleer met de knooppuntenmethode
Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).
Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.
Oplegreacties
Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.
ΣMA = 0: Cy·6 = 35·1 − 15·2 → Cy = 0,8333 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 0,8333 = 34,17 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN
Knoop A
Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.
sin α = 2/2,236 = 0,8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −34,17/0,8944 = −38,2 kN
Antwoord
FAB = −38,2 kN (druk)
7.Raamwerken en machines
Antwoord: C = 2,288 kN
Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.
Trekstangkracht uit poot BC
By = 2 kN
T = 2·1,5/2,7 = 1,111 kN
Componenten van de pennenkracht op BC
Cx = T = 1,111 kN, Cy = −By = −2 kN
Grootte
C = √(1,111² + 2²) = 2,288 kN
Antwoord
C = 2,288 kN
8.Raamwerken en machines
Antwoord: FCD = 30,42 kN
Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.
Resultante van de gelijkmatig verdeelde belasting
w·L = 2,5·3 = 7,5 kN op 1,5 m
Momenten om A voor de balk
FCD·0,5547·1,2 = 7,5·1,5 + 3·3 = 20,25 kN·m
FCD = 30,42 kN
Antwoord
FCD = 30,42 kN
9.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: Mx = −25 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.
Houd het deel met het vrije uiteinde over
P: −30·0,5 = −15 kN·m
w: −5·2²/2 = −10 kN·m
Mx = −15 − 10 = −25 kN·m
Antwoord
Mx = −25 kN·m
Negatief betekent opbuigend (hogging): trek aan de bovenzijde.
10.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: x0 = 5,05 m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.
Oplegreacties
Evenwicht van de hele balk.
Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 24·9 = 216 kN, aangrijpend op x̄ = 5,5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 24·9·5,5
RB = 1188/10 = 118,8 kN
ΣFy = 0: RA = 216 − 118,8 = 97,2 kN
Dwarskracht nul
De dwarskracht begint bij RA, blijft constant over elk onbelast deel en daalt met helling w binnen de belasting.
RA − w·(x0 − 1) = 0
x0 = 1 + 97,2/24 = 5,05 m
Antwoord
x0 = 5,05 m
11.Zwaartepunt en traagheidsmoment
Antwoord: Ix = 32,33 × 10⁶ mm⁴
Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft Ic = bh³/12 en een cirkel Ic = πd⁴/64.
Zwaartepunt
ȳ = (18000·75 − 1963·52,5)/(18000 − 1963) = 77,75 mm
Volle plaat om ȳ
120·150³/12 + 18000·−2,755² = 33,89 × 10⁶ mm⁴
Gat om ȳ
π·50⁴/64 + 1963·−25,25² = 1,559 × 10⁶ mm⁴
Trek af
Ix = 32,33 × 10⁶ mm⁴
Antwoord
Ix = 32,33 × 10⁶ mm⁴
12.Zwaartepunt en traagheidsmoment
Antwoord: Mallow = 7,084 kN·m
Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.