Statica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Grootte: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Eenheidsvector: û = a/|a|
Componenten uit een hoek: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Inwendig product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b: a·b/|b|
Arbeid: W = F·d
Uitwendig product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Oppervlakken: parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O: M_O = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum: V = |a·(b × c)|

Methode

Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Raamwerken en machines

Evenwicht van elke staaf: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf: kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht: gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht: F = √(F_x² + F_y²)
Hefboom, tang, hoekhefboom: F_in·a = F_out·b
Kniehefboom: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting

Methode

Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Oefenopgaven

1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld

Bepaal de scalaire projectie comp_b a van a = (−7, 0, −6) op b = (−5, 4, 1), dat wil zeggen de component van a in de richting van b.

a = (−7, 0, −6)b = (−5, 4, 1)

comp_b a =

2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk

De eenheidsvector n̂ staat loodrecht op zowel a = (0, 3, −1) als b = (3, 1, −5) en heeft een positieve z-component. Bepaal zijn x-component n̂_x.

a = (0, 3, −1)b = (3, 1, −5)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie R_B.

L = 4 mP₁ = 25 kN op 1,5 mP₂ = 40 kN op 3 m

R_B = kN

4.Oplegreacties van balkenMoeilijk

Een samengestelde balk is in A in de muur ingeklemd, heeft een inwendig scharnier in C (3 m van A) en rust op een rol in D (8 m van A). Hij draagt een puntlast P op 6 m van A, een gelijkmatig verdeelde belasting w op het hele deel CD en een puntlast Q op 1 m van A. Vind de reactie R_D bij de rol.

AC = 3 mAD = 8 mP = 30 kN op 6 mw = 8 kN/m van 3 tot 8 mQ = 70 kN op 1 m

R_D = kN

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_BC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 4 mhoogte = 3 mB ligt 3 m van Averticale belasting = 50 kN

F_BC = kN

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_BC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 5 mhoogte = 4 mB ligt 1 m van Averticale belasting = 25 kNhorizontale belasting = 30 kN →

F_BC = kN

7.Raamwerken en machinesGemiddeld

De getoonde hoekhefboom draait om de pen O. Een verticale kracht van 120 N in A (100 mm van O) wordt in evenwicht gehouden door een horizontale kracht in B (150 mm boven O). Bepaal de grootte van de penreactie F_O.

F = 120 NOA = 100 mmOB = 150 mm

F_O = N

8.Raamwerken en machinesMoeilijk

Een kniehefboompers heeft twee gelijke schakels AB en BC, elk 150 mm lang tussen de scharnierpunten. Het gewricht B zit 25 mm boven de lijn AC. Welke neerwaartse kracht F in B levert een horizontale perskracht van 2500 N op de schuif C? Verwaarloos wrijving en gewichten.

Q = 2500 NAB = BC = 150 mmh = 25 mm

F = N

9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

45 kN @ 4 m5 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 8 mP = 25 kN op 5 mw = 2 kN/m van 0 tot 8 mx = 5 m

M_x = kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een plaat van 200 mm × 240 mm heeft een rond gat met een diameter van 50 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 156 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 200 mmh = 240 mmd = 50 mmmiddelpunt van het gat: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een gelast I-profiel heeft een bovenflens van 120 × 12 mm, een lijf van 170 mm hoog en 8 mm dik, en een onderflens van 290 × 20 mm (breedte × dikte). Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale as x door het zwaartepunt.

bovenflens: 120 × 12 mmlijf: 8 × 170 mmonderflens: 290 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Oplossingen

1.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: comp_b a = 4,475

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Inwendig product

a·b = (−7)·(−5) + 0·4 + (−6)·1 = 29

Lengte van b

|b| = √((−5)² + 4² + 1²) = 6,481

Scalaire projectie

comp_b a = a·b/|b| = 29/6,481 = 4,475

Antwoord

comp_b a = 4,475

2.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: n̂_x = 0,8278

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Uitwendig product

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 3·(−5) − (−1)·1 = −14

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−1)·3 − 0·(−5) = −3

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 0·1 − 3·3 = −9

Normeren

De z-component van a × b is negatief, dus gebruik −(a × b).

|a × b| = √((−14)² + (−3)² + (−9)²) = 16,91

n̂ = −(−14, −3, −9)/16,91 = (0,8278, 0,1774, 0,5322)

n̂_x = 0,8278

Antwoord

n̂_x = 0,8278

3.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_B = 39,38 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·1,5 + 40·3

R_B = 157,5/4 = 39,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 39,38 = 25,63 kN

Antwoord

R_B = 39,38 kN

4.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_D = 38 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen. Een inwendig scharnier kan geen buigend moment dragen, wat één extra vergelijking geeft: het moment om het scharnier van de krachten aan één kant is nul.

Deel CD

Het scharnier heeft geen moment, dus de momenten om C op alleen CD moeten in evenwicht zijn.

W = 8·5 = 40 kN op 2,5 m vanaf C

ΣM_C = 0: R_D·5 = 30·3 + 40·2,5

R_D = 38 kN

V_C = 70 − 38 = 32 kN

Antwoord

R_D = 38 kN

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_BC = −39,53 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 50·3 → C_y = 37,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 37,5 = 12,5 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −37,5/0,9487 = −39,53 kN

Antwoord

F_BC = −39,53 kN (druk)

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_BC = −41,01 kN

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·1 + 30·4 → C_y = 29 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 29 = −4 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −29/0,7071 = −41,01 kN

Antwoord

F_BC = −41,01 kN (druk)

7.Raamwerken en machines

Antwoord: F_O = 144,2 N

Machines: tangen, hefbomen, schakelwerk en klemmen zetten een ingaande kracht om in een grotere of anders gerichte uitgaande kracht. Teken één onderdeel als vrij lichaam en neem momenten om zijn draaipunt: de pennenkracht valt weg, en F_in·a = F_uit·b geeft het mechanisch voordeel a/b. De pennenkracht volgt dan uit ΣF = 0 voor hetzelfde onderdeel. In een kniehefboom komen twee schakels onder een kleine hoek θ samen; elke schakel is een tweekrachtsstaaf, dus een kleine kracht F in het gewricht veroorzaakt grote schakelkrachten F/(2 sin θ) en een klemkracht F/(2 tan θ).

Kracht in B

Q = 120·100/150 = 80 N

Penreactie

O_x = 80 N, O_y = 120 N

F_O = √(80² + 120²) = 144,2 N

Antwoord

F_O = 144,2 N

8.Raamwerken en machines

Antwoord: F = 845,2 N

Schakelhoek

sin θ = 25/150 = 0,1667, θ = 9,594°

Schakelkracht

F_link = Q/cos θ = 2535 N

Kracht in B

F = 2·F_link·sin θ = 2·2500·tan θ = 845,2 N

Antwoord

F = 845,2 N

9.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: E (x = 4 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 23,75 kN, R₂ = 36,25 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 23,75, M_C = 45, M_D = 61,25, M_E = 72,5 kN·m, M_F = 36,25, M_G = 0

Antwoord

Markering E: M_E = 72,5 kN·m

10.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 61,88 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, aangrijpend op x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·5 + 2·8·4

R_B = 189/8 = 23,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 41 − 23,63 = 17,38 kN

Snijd bij x = 5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 17,38·5 − 2·5·2,5 = 61,88 kN·m

Antwoord

M_x = 61,88 kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 227,4 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (48000·120 − 1963·156)/(48000 − 1963) = 118,5 mm

Volle plaat om ȳ

200·240³/12 + 48000·1,535² = 230,5 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·50⁴/64 + 1963·37,54² = 3,073 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 227,4 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 227,4 × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 47,25 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in drie rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

bovenflens: A = 1440 mm², y = 196 mm

lijf: A = 1360 mm², y = 105 mm

onderflens: A = 5800 mm², y = 10 mm

Zwaartepunt

ȳ = (1440·196 + 1360·105 + 5800·10)/8600 = 56,17 mm

Stelling van Steiner

bovenflens: 120·12³/12 + 1440·139,8² = 2,817 × 10⁷ mm⁴

lijf: 8·170³/12 + 1360·48,83² = 6,518 × 10⁶ mm⁴

onderflens: 290·20³/12 + 5800·46,17² = 1,256 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,817 × 10⁷ + 6,518 × 10⁶ + 1,256 × 10⁷

I_x = 4,725 × 10⁷ mm⁴ = 47,25 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 47,25 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics