Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Vectoren: inwendig en uitwendig product
Grootte
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Eenheidsvector
û = a/|a|
Componenten uit een hoek
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Inwendig product
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b
a·b/|b|
Arbeid
W = F·d
Uitwendig product
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Oppervlakken
parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O
MO = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum
V = |a·(b × c)|
Methode
Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.
Oplegreacties van balken
Evenwicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Moment
M = F·d
Methode
Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣFy = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.
Vakwerk: knopenmethode
Knopenmethode
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Snedemethode
ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht
positief = trek, negatief = druk
Methode
Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣFx = 0 en ΣFy = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.
Raamwerken en machines
Evenwicht van elke staaf
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf
kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht
gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht
F = √(Fx² + Fy²)
Hefboom, tang, hoekhefboom
Fin·a = Fout·b
Kniehefboom
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Methode
Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣFx = 0 en ΣFy = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.
Dwarskracht en buigend moment
Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8
Methode
Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.
Zwaartepunt en traagheidsmoment
Zwaartepunt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechthoek
I = bh³/12
Stelling van Steiner
I = Ic + A·d²
Samengestelde doorsnede
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Oefenopgaven
1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld
Bepaal het inwendig product a·b van a = (1, 3, 6) en b = (−6, 7, −2).
a = (1, 3, 6)b = (−6, 7, −2)
a·b =
2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk
Bepaal voor a = (4, 6, 1) en b = (4, −2, 2) de y-component (a × b)y van het uitwendig product a × b.
a = (4, 6, 1)b = (4, −2, 2)
(a × b)y =
3.Oplegreacties van balkenGemiddeld
De balk heeft een scharnier in A en een rol in B, op 5 m van A, en steekt voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Vind de verticale reactie RB, met omhoog positief.
AB = 5 mAC = 8 mP1 = 65 kN op 1 mP2 = 30 kN op 8 m
RB = kN
4.Oplegreacties van balkenMoeilijk
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Een last P werkt op 9 m van A, onder een hoek van 45° met de horizontaal, en een verticale last Q werkt op 6 m van A. Vind de grootte van de totale reactiekracht RA in het scharnier A.
L = 10 mP = 60 kN op 9 m, θ = 45°Q = 30 kN op 6 m
RA = kN
5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld
Gebruik de knopenmethode om de kracht FBC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.
overspanning = 8 mhoogte = 2 mB ligt 5 m van Averticale belasting = 15 kN
FBC = kN
6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk
Gebruik de knopenmethode om de kracht FAB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.
overspanning = 4 mhoogte = 2 mB ligt 3 m van Averticale belasting = 20 kNhorizontale belasting = 20 kN ←
FAB = kN
7.Raamwerken en machinesGemiddeld
De getoonde hoekhefboom draait om de pen O. Een verticale kracht van 100 N in A (300 mm van O) wordt in evenwicht gehouden door een horizontale kracht in B (75 mm boven O). Bepaal de grootte van de penreactie FO.
F = 100 NOA = 300 mmOB = 75 mm
FO = N
8.Raamwerken en machinesMoeilijk
Een homogene horizontale giek AB met een gewicht van 1 kN is in A scharnierend aan een muur bevestigd en wordt vastgehouden door een kabel van zijn uiteinde B naar het punt C op de muur, 1 m boven A. In B hangt een last van 8 kN. Bepaal de spanning T in de kabel.
W = 8 kNWb = 1 kNAB = 3 mAC = 1 m
T = kN
9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
De vrij opgelegde balk draagt een rechtsdraaiend koppel M0 = 10 kN·m op x = 3 m vanaf A, en verder geen belasting. Vind het buigend moment Mx net links van het koppel. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.
L = 6 mM0 = 10 kN·m rechtsom, op 3 m
Mx = kN·m
10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
Vind het buigend moment Mx in de doorsnede x = 2,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.
L = 10 mP = 40 kN op 4 mw = 3 kN/m van 0 tot 10 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld
Vind het traagheidsmoment Ix van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.
bf = 140 mmtf = 30 mmtw = 20 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk
Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 30 kN·m. Vind de grootte van de buigspanning σboven aan de bovenrand.
Inwendig product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, een scalar. Het geeft de hoek tussen twee vectoren, cos θ = a·b/(|a|·|b|), en het is nul als ze loodrecht op elkaar staan. De scalaire projectie van a op b is a·b/|b|, en een constante kracht F die over een verplaatsing d werkt, verricht arbeid W = F·d.
Vermenigvuldig overeenkomstige componenten en tel op
Positief: de hoek tussen de vectoren is kleiner dan 90°.
2.Vectoren: inwendig en uitwendig product
Antwoord: (a × b)y = −4
Uitwendig product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) staat loodrecht op beide vectoren, en |a × b| = |a|·|b|·sin θ is de oppervlakte van het parallellogram dat ze opspannen (de driehoek is de helft daarvan). De volgorde doet ertoe: b × a = −(a × b). Het moment van een kracht F die op punt A werkt, om punt O is MO = r × F, met r = A − O.
Uitwendig product, component voor component
(a × b)x = aybz − azby = 6·2 − 1·(−2) = 14
(a × b)y = azbx − axbz = 1·4 − 4·2 = −4
(a × b)z = axby − aybx = 4·(−2) − 6·4 = −32
Gevraagde component
(a × b)y = −4
Antwoord
(a × b)y = −4
Controle: a × b staat loodrecht op beide vectoren, dus het inwendig product met a en met b is nul.
3.Oplegreacties van balken
Antwoord: RB = 61 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.
Momenten om A
Linksom positief.
ΣMA = 0: RB·5 = 65·1 + 30·8
RB = 305/5 = 61 kN
Verticaal evenwicht
RA = 65 + 30 − 61 = 34 kN
Antwoord
RB = 61 kN
4.Oplegreacties van balken
Antwoord: RA = 45,43 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.
Componenten van P
Pv = 60·sin 45° = 42,43 kN
Ph = 60·cos 45° = 42,43 kN
Reacties
ΣMA = 0: RB·10 = 42,43·9 + 30·6 → RB = 56,18 kN
Ay = 42,43 + 30 − 56,18 = 16,24 kN
Ax = Ph = 42,43 kN
Resultante in A
RA = √(42,43² + 16,24²) = 45,43 kN
Antwoord
RA = 45,43 kN
5.Vakwerk: knopenmethode
Antwoord: FBC = −16,9 kN
Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.
Oplegreacties
Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.
ΣMA = 0: Cy·8 = 15·5 → Cy = 9,375 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 9,375 = 5,625 kN
Knoop C
De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.
sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.
Oplegreacties
Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.
ΣMA = 0: Cy·4 = 20·3 − 20·2 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 5 = 15 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN
Knoop A
Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.
sin α = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −15/0,5547 = −27,04 kN
Antwoord
FAB = −27,04 kN (druk)
7.Raamwerken en machines
Antwoord: FO = 412,3 N
Machines: tangen, hefbomen, schakelwerk en klemmen zetten een ingaande kracht om in een grotere of anders gerichte uitgaande kracht. Teken één onderdeel als vrij lichaam en neem momenten om zijn draaipunt: de pennenkracht valt weg, en Fin·a = Fuit·b geeft het mechanisch voordeel a/b. De pennenkracht volgt dan uit ΣF = 0 voor hetzelfde onderdeel. In een kniehefboom komen twee schakels onder een kleine hoek θ samen; elke schakel is een tweekrachtsstaaf, dus een kleine kracht F in het gewricht veroorzaakt grote schakelkrachten F/(2 sin θ) en een klemkracht F/(2 tan θ).
Kracht in B
Q = 100·300/75 = 400 N
Penreactie
Ox = 400 N, Oy = 100 N
FO = √(400² + 100²) = 412,3 N
Antwoord
FO = 412,3 N
8.Raamwerken en machines
Antwoord: T = 26,88 kN
Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.
Kabelhoek
BC = √(3² + 1²) = 3,162 m, sin β = 0,3162
Momenten om A
T·0,3162·3 = 8·3 + 1·1,5
T = 26,88 kN
Antwoord
T = 26,88 kN
9.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: Mx = −5 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Een uitwendig koppel laat de momentenlijn verspringen met de grootte van het koppel.
Oplegreacties
Momenten om A, linksom positief: RB·L − M0 = 0. Verticaal evenwicht: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 10/6 = 1,667 kN (omhoog)
RA = −RB = −1,667 kN (omlaag)
Snede net links van het koppel
Het linkerdeel bevat alleen RA.
Mx = RA·a = −1,667·3 = −5 kN·m
Antwoord
Mx = −5 kN·m
10.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: Mx = 88,13 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.
Oplegreacties
Evenwicht van de hele balk.
Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, aangrijpend op x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 40·4 + 3·10·5
RB = 310/10 = 31 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 31 = 39 kN
Snijd bij x = 2,5 m en houd het linkerdeel over
Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.
M = RA·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)
Mx = 39·2,5 − 3·2,5·1,25 = 88,13 kN·m
Antwoord
Mx = 88,13 kN·m
11.Zwaartepunt en traagheidsmoment
Antwoord: Ix = 78,46 × 10⁶ mm⁴
Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.
Verdeel in twee rechthoeken
Meet elke y vanaf de onderrand.
flens: Af = 140·30 = 4200 mm², yf = 260 + 30/2 = 275 mm
Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.
Verdeel in twee rechthoeken
Meet elke y vanaf de onderrand.
flens: Af = 260·25 = 6500 mm², yf = 280 + 25/2 = 292,5 mm