Statica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Grootte: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Eenheidsvector: û = a/|a|
Componenten uit een hoek: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Inwendig product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b: a·b/|b|
Arbeid: W = F·d
Uitwendig product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Oppervlakken: parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O: M_O = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum: V = |a·(b × c)|

Methode

Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Raamwerken en machines

Evenwicht van elke staaf: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf: kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht: gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht: F = √(F_x² + F_y²)
Hefboom, tang, hoekhefboom: F_in·a = F_out·b
Kniehefboom: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting

Methode

Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Oefenopgaven

1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld

Bepaal de scalaire projectie comp_b a van a = (7, 1, −7) op b = (4, −6, 6), dat wil zeggen de component van a in de richting van b.

a = (7, 1, −7)b = (4, −6, 6)

comp_b a =

2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk

Bepaal voor a = (4, −4, −5) en b = (−4, −6, −5) de z-component (a × b)_z van het uitwendig product a × b.

a = (4, −4, −5)b = (−4, −6, −5)

(a × b)_z =

3.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De uitkragende ligger is in A in de muur ingeklemd. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P op 6 m van de muur. Vind de verticale reactie R_A bij de muur.

L = 8 mP = 60 kN op 6 mw = 4 kN/m van 0 tot 8 m

R_A = kN

4.Oplegreacties van balkenMoeilijk

Een samengestelde balk is in A in de muur ingeklemd, heeft een inwendig scharnier in C (4 m van A) en rust op een rol in D (10 m van A). Hij draagt een puntlast P op 9 m van A, een gelijkmatig verdeelde belasting w op het hele deel CD. Vind de grootte van het inklemmingsmoment M_A bij de muur.

AC = 4 mAD = 10 mP = 65 kN op 9 mw = 10 kN/m van 4 tot 10 m

M_A = kN·m

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AC in staaf AC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 5 mhoogte = 4 mB ligt 2 m van Averticale belasting = 15 kN

F_AC = kN

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_BC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 4 mhoogte = 3 mB ligt 3 m van Averticale belasting = 35 kNhorizontale belasting = 5 kN →

F_BC = kN

7.Raamwerken en machinesGemiddeld

De getoonde hoekhefboom draait om de pen O. Een verticale kracht van 120 N in A (200 mm van O) wordt in evenwicht gehouden door een horizontale kracht in B (150 mm boven O). Bepaal de grootte van de penreactie F_O.

F = 120 NOA = 200 mmOB = 150 mm

F_O = N

8.Raamwerken en machinesMoeilijk

Een kniehefboompers heeft twee gelijke schakels AB en BC, elk 80 mm lang tussen de scharnierpunten. Het gewricht B zit 30 mm boven de lijn AC. Welke neerwaartse kracht F in B levert een horizontale perskracht van 1500 N op de schuif C? Verwaarloos wrijving en gewichten.

Q = 1500 NAB = BC = 80 mmh = 30 mm

F = N

9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind de dwarskracht V_x in de doorsnede x = 1,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mw = 10 kN/m van 0 tot 4 mx = 1,5 m

V_x = kN

10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

40 kN @ 6 m20 kN @ 3 m5 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een U-profiel ligt met de open kant naar boven: een bodemplaat van 100 mm breed met twee opstaande benen, 120 mm hoog in totaal. Bodem en benen zijn allemaal 12 mm dik. Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b = 100 mmh = 120 mmt = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een plaat van 120 mm × 300 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 30 mm breed en 50 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 120 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 120 mmh = 300 mmuitsparing: 30 × 50 mmmiddelpunt van het gat: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Oplossingen

1.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: comp_b a = −2,132

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Inwendig product

a·b = 7·4 + 1·(−6) + (−7)·6 = −20

Lengte van b

|b| = √(4² + (−6)² + 6²) = 9,381

Scalaire projectie

comp_b a = a·b/|b| = −20/9,381 = −2,132

Antwoord

comp_b a = −2,132

Negatief: a heeft een component die tegen b in wijst.

2.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: (a × b)_z = −40

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Uitwendig product, component voor component

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−4)·(−5) − (−5)·(−6) = −10

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−5)·(−4) − 4·(−5) = 40

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 4·(−6) − (−4)·(−4) = −40

Gevraagde component

(a × b)_z = −40

Antwoord

(a × b)_z = −40

Controle: a × b staat loodrecht op beide vectoren, dus het inwendig product met a en met b is nul.

3.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_A = 92 kN

Evenwicht van een uitkragende ligger: een inklemming kan omhoog duwen en ook rotatie tegenhouden, dus ze levert een verticale reactie R_A en een inklemmingsmoment M_A. ΣF_y = 0 geeft R_A, en momenten om de muur geven M_A = Σ(last × afstand tot de muur). Een verdeelde belasting werkt als haar resultante in het zwaartepunt van het belastingsdiagram.

Resultante van de verdeelde belasting

W = 4·8 = 32 kN, x̄ = 4 m

Verticaal evenwicht

R_A = P + W = 60 + 32 = 92 kN

Antwoord

R_A = 92 kN

4.Oplegreacties van balken

Antwoord: M_A = 163,3 kN·m

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen. Een inwendig scharnier kan geen buigend moment dragen, wat één extra vergelijking geeft: het moment om het scharnier van de krachten aan één kant is nul.

Deel CD

Het scharnier heeft geen moment, dus de momenten om C op alleen CD moeten in evenwicht zijn.

W = 10·6 = 60 kN op 3 m vanaf C

ΣM_C = 0: R_D·6 = 65·5 + 60·3

R_D = 84,17 kN

V_C = 125 − 84,17 = 40,83 kN

Deel AC

De scharnierkracht V_C werkt omlaag op AC (even groot en tegengesteld aan haar werking op CD).

R_A = 40,83 = 40,83 kN

M_A = 40,83·4 = 163,3 kN·m

Antwoord

M_A = 163,3 kN·m

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AC = 4,5 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·2 → C_y = 6 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 6 = 9 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −6/0,8 = −7,5 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−7,5)·0,6 = 4,5 kN

Antwoord

F_AC = 4,5 kN (trek)

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_BC = −31,62 kN

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·3 + 5·3 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 30 = 5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −30/0,9487 = −31,62 kN

Antwoord

F_BC = −31,62 kN (druk)

7.Raamwerken en machines

Antwoord: F_O = 200 N

Machines: tangen, hefbomen, schakelwerk en klemmen zetten een ingaande kracht om in een grotere of anders gerichte uitgaande kracht. Teken één onderdeel als vrij lichaam en neem momenten om zijn draaipunt: de pennenkracht valt weg, en F_in·a = F_uit·b geeft het mechanisch voordeel a/b. De pennenkracht volgt dan uit ΣF = 0 voor hetzelfde onderdeel. In een kniehefboom komen twee schakels onder een kleine hoek θ samen; elke schakel is een tweekrachtsstaaf, dus een kleine kracht F in het gewricht veroorzaakt grote schakelkrachten F/(2 sin θ) en een klemkracht F/(2 tan θ).

Kracht in B

Q = 120·200/150 = 160 N

Penreactie

O_x = 160 N, O_y = 120 N

F_O = √(160² + 120²) = 200 N

Antwoord

F_O = 200 N

8.Raamwerken en machines

Antwoord: F = 1214 N

Schakelhoek

sin θ = 30/80 = 0,375, θ = 22,02°

Schakelkracht

F_link = Q/cos θ = 1618 N

Kracht in B

F = 2·F_link·sin θ = 2·1500·tan θ = 1214 N

Antwoord

F = 1214 N

9.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: V_x = 5 kN

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·4·2

R_B = 80/4 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Snijd bij x = 1,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

V = R_A − (alle neerwaartse belastingen links van de snede)

V_x = 20 − 10·1,5 = 5 kN

Antwoord

V_x = 5 kN

10.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: F (x = 5 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 12,5 kN, R₂ = 72,5 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 10, M_C = 15, M_D = 15, M_E = −10, M_F = −40 kN·m, M_G = 0

Antwoord

Markering F: M_F = −40 kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 5,487 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in rechthoeken

Neem de bodem over de volle breedte en de twee benen daarboven (hoogte h − t), zodat niets dubbel geteld wordt.

basis: A₁ = 100·12 = 1200 mm², y₁ = 6 mm

twee benen: A₂ = 2·12·108 = 2592 mm², y₂ = 12 + 108/2 = 66 mm

Zwaartepunt

ȳ = (1200·6 + 2592·66)/3792 = 47,01 mm

Stelling van Steiner

basis: 100·12³/12 + 1200·(6 − 47,01)² = 2,033 × 10⁶ mm⁴

twee benen: 2·12·108³/12 + 2592·(66 − 47,01)² = 3,454 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,033 × 10⁶ + 3,454 × 10⁶

I_x = 5,487 × 10⁶ mm⁴ = 5,487 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 5,487 × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 268,3 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (36000·150 − 1500·120)/(36000 − 1500) = 151,3 mm

Volle plaat om ȳ

120·300³/12 + 36000·−1,304² = 270,1 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

30·50³/12 + 1500·−31,3² = 1,782 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 268,3 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 268,3 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics