Statica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Grootte: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Eenheidsvector: û = a/|a|
Componenten uit een hoek: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Inwendig product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b: a·b/|b|
Arbeid: W = F·d
Uitwendig product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Oppervlakken: parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O: M_O = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum: V = |a·(b × c)|

Methode

Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Raamwerken en machines

Evenwicht van elke staaf: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf: kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht: gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht: F = √(F_x² + F_y²)
Hefboom, tang, hoekhefboom: F_in·a = F_out·b
Kniehefboom: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting

Methode

Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Oefenopgaven

1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld

Bepaal de scalaire projectie comp_b a van a = (1, 3, −2) op b = (6, 5, −5), dat wil zeggen de component van a in de richting van b.

a = (1, 3, −2)b = (6, 5, −5)

comp_b a =

2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk

Een kracht F = (−50, −10, 60) N werkt in punt A(2, −4, 4). Coördinaten zijn in meter. Bepaal de grootte |M| van het moment van de kracht om punt O(−1, 3, 1).

F = (−50, −10, 60) NA(2, −4, 4) mO(−1, 3, 1) m

|M| = N·m

3.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De vrij opgelegde balk (scharnier in A, rol in B) draagt een lineair verlopende belasting die afloopt van 6 kN/m in A tot nul in B. Vind de verticale oplegreactie R_B.

L = 4 mw₀ = 6 kN/m

R_B = kN

4.Oplegreacties van balkenMoeilijk

De balk heeft een scharnier in A en een rol in B, op 2,5 m van A, en steekt voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Hij draagt een puntlast P op 0,5 m van A en een gelijkmatig verdeelde belasting w van 2,5 m tot het vrije uiteinde op 4 m. Vind de verticale reactie R_B, met omhoog positief.

AB = 2,5 mAC = 4 mP = 35 kN op 0,5 mw = 6 kN/m van 2,5 tot 4 m

R_B = kN

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_BC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 5 mhoogte = 3 mB ligt 3 m van Averticale belasting = 15 kN

F_BC = kN

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 8 mhoogte = 3 mB ligt 6 m van Averticale belasting = 25 kNhorizontale belasting = 25 kN →

F_AB = kN

7.Raamwerken en machinesGemiddeld

In de getoonde kniehefboomklem zijn twee gelijke schakels AB en BC in B scharnierend verbonden, en elk maakt 30° met de lijn AC. In B wordt een neerwaartse kracht van 250 N uitgeoefend. De schuif C drukt op een werkstuk. Bepaal, zonder wrijving en gewichten, de horizontale klemkracht Q.

F = 250 Nθ = 30°

Q = N

8.Raamwerken en machinesMoeilijk

Het getoonde A-frame staat op een scharnier in A en een rol in B, 3 m uit elkaar. De poten komen samen in het scharnier C, 2,5 m hoog, en worden verbonden door de horizontale staaf DE op 1,5 m. In C werkt een horizontale kracht van 15 kN naar rechts. Bepaal de trekkracht T in de trekstang.

P = 15 kNAB = 3 mhoogte van C = 2,5 mhoogte van DE = 1,5 m

T = kN

9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt twee puntlasten. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 6 mP₁ = 35 kN op 2 mP₂ = 80 kN op 4 m

M_max = kN·m

10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 1,5 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Over de hele lengte A–C werkt een gelijkmatig verdeelde belasting w. Vind het buigend moment M_B bij oplegging B. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 9,5 mw = 5 kN/m van 0 tot 9,5 mopleggingen bij x = 0 en x = 8 m

M_B = kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een plaat van 150 mm × 200 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 30 mm breed en 40 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 120 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 150 mmh = 200 mmuitsparing: 30 × 40 mmmiddelpunt van het gat: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Oplossingen

1.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: comp_b a = 3,343

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Inwendig product

a·b = 1·6 + 3·5 + (−2)·(−5) = 31

Lengte van b

|b| = √(6² + 5² + (−5)²) = 9,274

Scalaire projectie

comp_b a = a·b/|b| = 31/9,274 = 3,343

Antwoord

comp_b a = 3,343

2.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: |M| = 636,7 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Plaatsvector van O naar A

r = A − O = (2, −4, 4) − (−1, 3, 1) = (3, −7, 3) m

Moment M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−7)·60 − 3·(−10) = −390 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 3·(−50) − 3·60 = −330 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 3·(−10) − (−7)·(−50) = −380 N·m

Grootte

|M| = √((−390)² + (−330)² + (−380)²) = 636,7 N·m

Antwoord

|M| = 636,7 N·m

3.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_B = 4 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.

Resultante van de driehoeksbelasting

W = ½·6·4 = 12 kN

x̄ = L/3 = 1,333 m

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·1,333

R_B = 4 kN

R_A = 12 − 4 = 8 kN

Antwoord

R_B = 4 kN

4.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_B = 18,7 kN

Resultante van de verdeelde belasting

W = 6·1,5 = 9 kN, x̄ = (2,5 + 4)/2 = 3,25 m

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣM_A = 0: R_B·2,5 = 35·0,5 + 9·3,25

R_B = 46,75/2,5 = 18,7 kN

R_A = 44 − 18,7 = 25,3 kN

Antwoord

R_B = 18,7 kN

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_BC = −10,82 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·3 → C_y = 9 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 9 = 6 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −9/0,8321 = −10,82 kN

Antwoord

F_BC = −10,82 kN (druk)

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AB = 6,988 kN

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·6 + 25·3 → C_y = 28,13 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 28,13 = −3,125 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Knoop A

Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.

sin α = 3/6,708 = 0,4472

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −−3,125/0,4472 = 6,988 kN

Antwoord

F_AB = 6,988 kN (trek)

7.Raamwerken en machines

Antwoord: Q = 216,5 N

Machines: tangen, hefbomen, schakelwerk en klemmen zetten een ingaande kracht om in een grotere of anders gerichte uitgaande kracht. Teken één onderdeel als vrij lichaam en neem momenten om zijn draaipunt: de pennenkracht valt weg, en F_in·a = F_uit·b geeft het mechanisch voordeel a/b. De pennenkracht volgt dan uit ΣF = 0 voor hetzelfde onderdeel. In een kniehefboom komen twee schakels onder een kleine hoek θ samen; elke schakel is een tweekrachtsstaaf, dus een kleine kracht F in het gewricht veroorzaakt grote schakelkrachten F/(2 sin θ) en een klemkracht F/(2 tan θ).

Evenwicht van pen B

2·F_link·sin 30° = 250

F_link = 250 N

Klemkracht

Q = F_link·cos 30° = 250/(2·tan 30°) = 216,5 N

Antwoord

Q = 216,5 N

De krachtverhouding Q/F = 0,866 groeit onbeperkt als de schakels strekken.

8.Raamwerken en machines

Antwoord: T = 18,75 kN

Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.

Heel raamwerk: momenten om A

B_y·3 = 15·2,5

B_y = 12,5 kN

Poot BC: momenten om C

12,5·1,5 = T·1

T = 18,75 kN

Antwoord

T = 18,75 kN

Een positieve T betekent dat de trekstang op trek staat, zoals aangenomen.

9.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 130 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·2 + 80·4

R_B = 390/6 = 65 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 65 = 50 kN

Moment onder elke last

Houd het deel links van elke last over.

onder P₁: M = R_A·2 = 50·2 = 100 kN·m

onder P₂: M = R_B·2 = 65·2 = 130 kN·m

Grootste waarde

M_max = 130 kN·m (onder P₂)

Antwoord

M_max = 130 kN·m

10.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_B = −5,625 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk, inclusief de belasting op het overstek.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 5·9,5 = 47,5 kN, aangrijpend op x̄ = 4,75 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·9,5·4,75

R_B = 225,6/8 = 28,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 47,5 − 28,2 = 19,3 kN

Snede bij B, houd het overstek over

De belasting op het overstek, w·a, grijpt aan op a/2 vanaf B en laat de balk boven de oplegging opbuigen.

M_B = −w·a²/2 = −5·1,5²/2 = −5,625 kN·m

Antwoord

M_B = −5,625 kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 17,76 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 140·10 = 1400 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

lijf: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1400·205 + 2400·100)/3800 = 138,7 mm

Stelling van Steiner

flens: 140·10³/12 + 1400·(205 − 138,7)² = 6,169 × 10⁶ mm⁴

lijf: 12·200³/12 + 2400·(100 − 138,7)² = 1,159 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,169 × 10⁶ + 1,159 × 10⁷ = 1,776 × 10⁷ mm⁴ = 17,76 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 17,76 × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 99,34 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (30000·100 − 1200·120)/(30000 − 1200) = 99,17 mm

Volle plaat om ȳ

150·200³/12 + 30000·0,8333² = 100 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

30·40³/12 + 1200·20,83² = 0,6808 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 99,34 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 99,34 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics