Statica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Grootte: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Eenheidsvector: û = a/|a|
Componenten uit een hoek: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Inwendig product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b: a·b/|b|
Arbeid: W = F·d
Uitwendig product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Oppervlakken: parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O: M_O = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum: V = |a·(b × c)|

Methode

Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Raamwerken en machines

Evenwicht van elke staaf: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf: kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht: gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht: F = √(F_x² + F_y²)
Hefboom, tang, hoekhefboom: F_in·a = F_out·b
Kniehefboom: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting

Methode

Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Oefenopgaven

1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld

Bepaal de waarde van k waarvoor de vectoren a = (−3, −6, 1) en b = (−1, k, −1) loodrecht op elkaar staan.

a = (−3, −6, 1)b = (−1, k, −1)

k =

2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk

Bepaal voor a = (−1, 6, 0) en b = (6, −1, 1) de z-component (a × b)_z van het uitwendig product a × b.

a = (−1, 6, 0)b = (6, −1, 1)

(a × b)_z =

3.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie R_A.

L = 8 mP₁ = 30 kN op 5 mP₂ = 35 kN op 7 m

R_A = kN

4.Oplegreacties van balkenMoeilijk

Een samengestelde balk is in A in de muur ingeklemd, heeft een inwendig scharnier in C (3 m van A) en rust op een rol in D (10 m van A). Hij draagt een puntlast P op 4 m van A, een gelijkmatig verdeelde belasting w op het hele deel CD en een puntlast Q op 2 m van A. Vind de reactie R_D bij de rol.

AC = 3 mAD = 10 mP = 60 kN op 4 mw = 6 kN/m van 3 tot 10 mQ = 10 kN op 2 m

R_D = kN

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 5 mhoogte = 2 mB ligt 1 m van Averticale belasting = 15 kN

F_AB = kN

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 5 mhoogte = 4 mB ligt 4 m van Averticale belasting = 50 kNhorizontale belasting = 30 kN →

F_AB = kN

7.Raamwerken en machinesGemiddeld

Een horizontale balk AB is in A scharnierend aan een muur bevestigd en wordt gesteund door de stut CD, die in C, 1,5 m onder A, scharnierend aan de muur zit. In B hangt een last van 15 kN. Verwaarloos de gewichten. Bepaal de grootte van de pennenkracht A op de balk in A.

P = 15 kNAD = 1,2 mAB = 4 mAC = 1,5 m

A = kN

8.Raamwerken en machinesMoeilijk

De balk AB van de getoonde wandconsole is in A scharnierend bevestigd en wordt gesteund door de stut CD (C ligt 1,5 m onder A). De balk draagt over zijn hele lengte een gelijkmatig verdeelde belasting van 4 kN/m en een puntlast van 8 kN aan zijn vrije uiteinde B. Bepaal de kracht F_CD in de stut.

w = 4 kN/mP = 8 kNAD = 1,2 mAB = 2 mAC = 1,5 m

F_CD = kN

9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 1 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Hij draagt een puntlast P₁ tussen de opleggingen en een puntlast P₂ in C. Vind het buigend moment M_x onder de last P₁. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 6 mP₁ = 25 kN op 1 mP₂ = 15 kN op 6 mopleggingen bij x = 0 en x = 5 m

M_x = kN·m

10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 1 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 5 mP = 55 kN op 1 mw = 2 kN/m van 0 tot 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een ronde buis heeft buitendiameter D = 150 mm en binnendiameter d = 138 mm. Vind de traagheidsstraal r om de horizontale zwaartepuntsas.

D = 150 mmd = 138 mm

r = mm

12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een plaat van 120 mm × 150 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 50 mm breed en 50 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 105 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 120 mmh = 150 mmuitsparing: 50 × 50 mmmiddelpunt van het gat: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Oplossingen

1.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: k = 0,3333

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Inwendig product is gelijk aan nul

a·b = (−3)·(−1) + (−6)·k + 1·(−1) = 0

2 + (−6)·k = 0

Los op naar k

k = −2/(−6) = 0,3333

Antwoord

k = 0,3333

2.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: (a × b)_z = −35

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Uitwendig product, component voor component

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 6·1 − 0·(−1) = 6

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 0·6 − (−1)·1 = 1

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·(−1) − 6·6 = −35

Gevraagde component

(a × b)_z = −35

Antwoord

(a × b)_z = −35

Controle: a × b staat loodrecht op beide vectoren, dus het inwendig product met a en met b is nul.

3.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_A = 15,63 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·5 + 35·7

R_B = 395/8 = 49,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 49,38 = 15,63 kN

Antwoord

R_A = 15,63 kN

4.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_D = 29,57 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen. Een inwendig scharnier kan geen buigend moment dragen, wat één extra vergelijking geeft: het moment om het scharnier van de krachten aan één kant is nul.

Deel CD

Het scharnier heeft geen moment, dus de momenten om C op alleen CD moeten in evenwicht zijn.

W = 6·7 = 42 kN op 3,5 m vanaf C

ΣM_C = 0: R_D·7 = 60·1 + 42·3,5

R_D = 29,57 kN

V_C = 102 − 29,57 = 72,43 kN

Antwoord

R_D = 29,57 kN

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AB = −13,42 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·1 → C_y = 3 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 3 = 12 kN

Knoop A

Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −12/0,8944 = −13,42 kN

Antwoord

F_AB = −13,42 kN (druk)

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AB = 19,8 kN

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 50·4 + 30·4 → C_y = 64 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 64 = −14 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Knoop A

Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.

sin α = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −−14/0,7071 = 19,8 kN

Antwoord

F_AB = 19,8 kN (trek)

7.Raamwerken en machines

Antwoord: A = 53,15 kN

Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.

Stutkracht

F_CD = 15·4/(0,7809·1,2) = 64,03 kN

Componenten in A

A_x = F_CD·cos α = 40 kN (naar de muur toe)

A_y = 15 − F_CD·sin α = −35 kN

Grootte

A = √(40² + −35²) = 53,15 kN

Antwoord

A = 53,15 kN

Een negatieve A_y betekent dat de muur de balk in A omlaag trekt.

8.Raamwerken en machines

Antwoord: F_CD = 25,61 kN

Resultante van de gelijkmatig verdeelde belasting

w·L = 4·2 = 8 kN op 1 m

Momenten om A voor de balk

F_CD·0,7809·1,2 = 8·1 + 8·2 = 24 kN·m

F_CD = 25,61 kN

Antwoord

F_CD = 25,61 kN

9.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 17 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk. De last op het overstek levert ook een moment om A.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·1 + 15·6

R_B = 115/5 = 23 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 23 = 17 kN

Snede onder P₁, houd het linkerdeel over

M_x = R_A·1 = 17·1 = 17 kN·m

Antwoord

M_x = 17 kN·m

10.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 48 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, aangrijpend op x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·1 + 2·5·2,5

R_B = 80/5 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 16 = 49 kN

Snijd bij x = 1 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 49·1 − 2·1·0,5 = 48 kN·m

Antwoord

M_x = 48 kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: r = 50,96 mm

Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = I_c + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is. De traagheidsstraal r = √(I/A) is de afstand waarop de hele oppervlakte dezelfde I zou geven; je gebruikt hem bij knik van kolommen.

Netto oppervlakte en traagheidsmoment

A = π(D² − d²)/4 = 2714 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 7,048 × 10⁶ mm⁴

Traagheidsstraal

r = √(I/A) = √(7,048 × 10⁶/2714) = 50,96 mm

Antwoord

r = 50,96 mm

12.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 30,62 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (18000·75 − 2500·105)/(18000 − 2500) = 70,16 mm

Volle plaat om ȳ

120·150³/12 + 18000·4,839² = 34,17 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

50·50³/12 + 2500·34,84² = 3,555 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 30,62 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 30,62 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics

Statica: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Methode

Oplegreacties van balken

Methode

Vakwerk: knopenmethode

Methode

Raamwerken en machines

Methode

Dwarskracht en buigend moment

Methode

Zwaartepunt en traagheidsmoment

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Inwendig product is gelijk aan nul

Los op naar k

Antwoord

Uitwendig product, component voor component

Gevraagde component

Antwoord

Vrijlichaamsschema

Evenwicht

Antwoord

Deel CD

Antwoord

Oplegreacties

Knoop A

Antwoord

Oplegreacties

Knoop A

Antwoord

Stutkracht

Componenten in A

Grootte

Antwoord

Resultante van de gelijkmatig verdeelde belasting

Momenten om A voor de balk

Antwoord

Oplegreacties

Snede onder P1, houd het linkerdeel over

Antwoord

Oplegreacties

Snijd bij x = 1 m en houd het linkerdeel over

Antwoord

Netto oppervlakte en traagheidsmoment

Traagheidsstraal

Antwoord

Zwaartepunt

Volle plaat om ȳ

Gat om ȳ

Trek af

Antwoord

Snede onder P₁, houd het linkerdeel over