Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Vectoren: inwendig en uitwendig product
Grootte
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Eenheidsvector
û = a/|a|
Componenten uit een hoek
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Inwendig product
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b
a·b/|b|
Arbeid
W = F·d
Uitwendig product
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Oppervlakken
parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O
MO = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum
V = |a·(b × c)|
Methode
Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.
Oplegreacties van balken
Evenwicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Moment
M = F·d
Methode
Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣFy = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.
Vakwerk: knopenmethode
Knopenmethode
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Snedemethode
ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht
positief = trek, negatief = druk
Methode
Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣFx = 0 en ΣFy = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.
Raamwerken en machines
Evenwicht van elke staaf
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf
kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht
gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht
F = √(Fx² + Fy²)
Hefboom, tang, hoekhefboom
Fin·a = Fout·b
Kniehefboom
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Methode
Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣFx = 0 en ΣFy = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.
Dwarskracht en buigend moment
Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8
Methode
Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.
Zwaartepunt en traagheidsmoment
Zwaartepunt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechthoek
I = bh³/12
Stelling van Steiner
I = Ic + A·d²
Samengestelde doorsnede
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Oefenopgaven
1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld
Bepaal de scalaire projectie compb a van a = (1, −2, 4) op b = (−6, −4, 6), dat wil zeggen de component van a in de richting van b.
a = (1, −2, 4)b = (−6, −4, 6)
compb a =
2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk
Bepaal de oppervlakte A van het parallellogram opgespannen door a = (−1, 0, 1) en b = (6, 3, −3).
a = (−1, 0, 1)b = (6, 3, −3)
A =
3.Oplegreacties van balkenGemiddeld
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RA.
L = 5 mP1 = 45 kN op 1,5 mP2 = 20 kN op 3,5 m
RA = kN
4.Oplegreacties van balkenMoeilijk
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RB.
L = 10 mP = 25 kN op 8 mw = 4 kN/m van 8 tot 9 m
RB = kN
5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld
Gebruik de knopenmethode om de kracht FAC in staaf AC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.
overspanning = 8 mhoogte = 4 mB ligt 5 m van Averticale belasting = 35 kN
FAC = kN
6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk
Gebruik de knopenmethode om de kracht FAC in staaf AC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.
overspanning = 6 mhoogte = 3 mB ligt 5 m van Averticale belasting = 45 kNhorizontale belasting = 5 kN →
FAC = kN
7.Raamwerken en machinesGemiddeld
Het getoonde raamwerk heeft scharnieren in A, B en C; A en C zitten 4 m uit elkaar aan de grond vast, en B ligt 4 m boven de grond en 1,2 m rechts van A. Een verticale belasting van 15 kN werkt op staaf AB in K, 0,6 m (horizontaal) van A. Bepaal de kracht FBC in staaf BC.
P = 15 kNL = 4 mH = 4 mhorizontale afstand A tot B = 1,2 mhorizontale afstand A tot K = 0,6 m
FBC = kN
8.Raamwerken en machinesMoeilijk
Het getoonde raamwerk heeft scharnieren in A, B en C; A en C zitten 4 m uit elkaar aan de grond vast, en B ligt 2 m hoog en 1,8 m rechts van A. Staaf AB draagt een verticale belasting van 10 kN in K, 0,45 m (horizontaal) van A, en in B werkt een horizontale belasting van 5 kN naar rechts op staaf AB. Bepaal de grootte van de horizontale reactie Ax in A.
P = 10 kNQ = 5 kNL = 4 mH = 2 mhorizontale afstand A tot B = 1,8 mhorizontale afstand A tot K = 0,45 m
Ax = kN
9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
De vrij opgelegde balk draagt twee puntlasten. Vind het maximale buigend moment Mmax in de balk.
L = 8 mP1 = 55 kN op 1 mP2 = 30 kN op 5 m
Mmax = kN·m
10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning en een puntlast P. Vind het maximale buigend moment Mmax in de balk.
L = 6 mP = 15 kN op 2 mw = 8 kN/m van 0 tot 6 m
Mmax = kN·m
11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld
Vind het traagheidsmoment Ix van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.
bf = 260 mmtf = 30 mmtw = 14 mmhw = 200 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk
Een plaat van 150 mm × 150 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 80 mm breed en 40 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 52,5 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment Ix om de horizontale as door het zwaartepunt.
b = 150 mmh = 150 mmuitsparing: 80 × 40 mmmiddelpunt van het gat: y = 52,5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Oplossingen
1.Vectoren: inwendig en uitwendig product
Antwoord: compb a = 2,772
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Inwendig product
a·b = 1·(−6) + (−2)·(−4) + 4·6 = 26
Lengte van b
|b| = √((−6)² + (−4)² + 6²) = 9,381
Scalaire projectie
compb a = a·b/|b| = 26/9,381 = 2,772
Antwoord
compb a = 2,772
2.Vectoren: inwendig en uitwendig product
Antwoord: A = 5,196
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Uitwendig product
(a × b)x = aybz − azby = 0·(−3) − 1·3 = −3
(a × b)y = azbx − axbz = 1·6 − (−1)·(−3) = 3
(a × b)z = axby − aybx = (−1)·3 − 0·6 = −3
Oppervlak
A = |a × b| = √((−3)² + 3² + (−3)²) = 5,196
Antwoord
A = 5,196
3.Oplegreacties van balken
Antwoord: RA = 37,5 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.
Vrijlichaamsschema
Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.
Evenwicht
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
ΣMA = 0: RB·5 = 45·1,5 + 20·3,5
RB = 137,5/5 = 27,5 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 27,5 = 37,5 kN
Antwoord
RA = 37,5 kN
4.Oplegreacties van balken
Antwoord: RB = 23,4 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.
Vrijlichaamsschema
Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.
Evenwicht
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 4·1 = 4 kN, aangrijpend op x̄ = 8,5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 25·8 + 4·1·8,5
RB = 234/10 = 23,4 kN
ΣFy = 0: RA = 29 − 23,4 = 5,6 kN
Antwoord
RB = 23,4 kN
5.Vakwerk: knopenmethode
Antwoord: FAC = 16,41 kN
Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.
Oplegreacties
Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.
ΣMA = 0: Cy·8 = 35·5 → Cy = 21,88 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 21,88 = 13,13 kN
Knoop C
De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.
Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.
Oplegreacties
Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.
ΣMA = 0: Cy·6 = 45·5 + 5·3 → Cy = 40 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 40 = 5 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN
Knoop C
De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.
sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.
Tweekrachtsstaaf BC
BC = √(2,8² + 4²) = 4,883 m
Heel raamwerk: momenten om A
De grond duwt in C op BC langs CB; zijn horizontale component gaat door A, alleen de verticale heeft een moment.
FBC·(4/4,883)·4 = 15·0,6
FBC = 2,746 kN (druk)
Antwoord
FBC = 2,746 kN
8.Raamwerken en machines
Antwoord: Ax = 1,012 kN
Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.
Richting van BC
BC = 2,973 m, cos = 0,7399, sin = 0,6727
Heel raamwerk: momenten om A
FBC·0,6727·4 = 10·0,45 + 5·2
FBC = 5,389 kN
Horizontaal evenwicht
Ax + 5 − 5,389·0,7399 = 0
Ax = −1,012 kN → |Ax| = 1,012 kN
Antwoord
Ax = 1,012 kN
Het minteken betekent dat Ax naar links wijst.
9.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: Mmax = 76,88 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.
Oplegreacties
Evenwicht van de hele balk.
ΣMA = 0: RB·8 = 55·1 + 30·5
RB = 205/8 = 25,63 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 25,63 = 59,38 kN
Moment onder elke last
Houd het deel links van elke last over.
onder P1: M = RA·1 = 59,38·1 = 59,38 kN·m
onder P2: M = RB·3 = 25,63·3 = 76,88 kN·m
Grootste waarde
Mmax = 76,88 kN·m (onder P2)
Antwoord
Mmax = 76,88 kN·m
10.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: Mmax = 52,56 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.
Oplegreacties
Evenwicht van de hele balk.
Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 15·2 + 8·6·3
RB = 174/6 = 29 kN
ΣFy = 0: RA = 63 − 29 = 34 kN
Waar is V = 0?
RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (34 − 15)/8 = 2,375 m
Maximaal moment
Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 2) − w·x0²/2 = 52,56 kN·m
Antwoord
Mmax = 52,56 kN·m
Dat is op x = 2,375 m vanaf A.
11.Zwaartepunt en traagheidsmoment
Antwoord: Ix = 37,17 × 10⁶ mm⁴
Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.
Verdeel in twee rechthoeken
Meet elke y vanaf de onderrand.
flens: Af = 260·30 = 7800 mm², yf = 200 + 30/2 = 215 mm
Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft Ic = bh³/12 en een cirkel Ic = πd⁴/64.
Zwaartepunt
ȳ = (22500·75 − 3200·52,5)/(22500 − 3200) = 78,73 mm