Statica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Grootte: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Eenheidsvector: û = a/|a|
Componenten uit een hoek: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Inwendig product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b: a·b/|b|
Arbeid: W = F·d
Uitwendig product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Oppervlakken: parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O: M_O = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum: V = |a·(b × c)|

Methode

Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Raamwerken en machines

Evenwicht van elke staaf: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf: kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht: gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht: F = √(F_x² + F_y²)
Hefboom, tang, hoekhefboom: F_in·a = F_out·b
Kniehefboom: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting

Methode

Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Oefenopgaven

1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld

Bepaal het inwendig product a·b van a = (−3, 2, 5) en b = (1, 7, −6).

a = (−3, 2, 5)b = (1, 7, −6)

a·b =

2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk

Bepaal de oppervlakte A van het parallellogram opgespannen door a = (−1, 4, 5) en b = (−5, 5, 1).

a = (−1, 4, 5)b = (−5, 5, 1)

A =

3.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De uitkragende ligger is in A in de muur ingeklemd. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P op 4 m van de muur. Vind de grootte van het inklemmingsmoment M_A bij de muur.

L = 5 mP = 55 kN op 4 mw = 6 kN/m van 0 tot 5 m

M_A = kN·m

4.Oplegreacties van balkenMoeilijk

De balk heeft een scharnier in A en een rol in B, op 6 m van A, en steekt voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Hij draagt een puntlast P op 4 m van A en een gelijkmatig verdeelde belasting w van 5 m tot het vrije uiteinde op 8 m. Vind de verticale reactie R_B, met omhoog positief.

AB = 6 mAC = 8 mP = 15 kN op 4 mw = 8 kN/m van 5 tot 8 m

R_B = kN

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.

B: 30 kN ↓D: 35 kN ↓

1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf BG
13staaf DG

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_BC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 6 mhoogte = 4 mB ligt 5 m van Averticale belasting = 35 kNhorizontale belasting = 30 kN ←

F_BC = kN

7.Raamwerken en machinesGemiddeld

Het getoonde A-frame staat op een scharnier in A en een rol in B, 4 m uit elkaar. De poten komen samen in het scharnier C, 2 m hoog, en de horizontale trekstang DE zit 0,8 m boven de grond. In C werkt een belasting van 2 kN. Bepaal de grootte van de kracht C die de pen C op poot BC uitoefent.

P = 2 kNAB = 4 mhoogte van C = 2 mhoogte van DE = 0,8 m

C = kN

8.Raamwerken en machinesMoeilijk

De balk AB van de getoonde wandconsole is in A scharnierend bevestigd en wordt gesteund door de stut CD (C ligt 1,5 m onder A). De balk draagt over zijn hele lengte een gelijkmatig verdeelde belasting van 1,5 kN/m en een puntlast van 10 kN aan zijn vrije uiteinde B. Bepaal de kracht F_CD in de stut.

w = 1,5 kN/mP = 10 kNAD = 1,6 mAB = 2,5 mAC = 1,5 m

F_CD = kN

9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 3,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mw = 6 kN/m van 0 tot 4 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting over een deel van de overspanning. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 6 mw = 4 kN/m van 0 tot 4 m

M_max = kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 150 mm breed en 20 mm dik, een totale hoogte van 260 mm en een lijf van 8 mm dik. Het draagt een buigend moment van 100 kN·m om de as x. Vind de grootte van de buigspanning σ_j bij de overgang van het lijf naar de bovenflens.

B = 150 mmH = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmM = 100 kN·m

σ_j = MPa

3Oplossingen

1.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: a·b = −19

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Vermenigvuldig overeenkomstige componenten en tel op

a·b = (−3)·1 + 2·7 + 5·(−6) = (−3) + 14 + (−30) = −19

Antwoord

a·b = −19

Negatief: de hoek tussen de vectoren is groter dan 90°.

2.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: A = 35,24

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Uitwendig product

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 4·1 − 5·5 = −21

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 5·(−5) − (−1)·1 = −24

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·5 − 4·(−5) = 15

Oppervlak

A = |a × b| = √((−21)² + (−24)² + 15²) = 35,24

Antwoord

A = 35,24

3.Oplegreacties van balken

Antwoord: M_A = 295 kN·m

Evenwicht van een uitkragende ligger: een inklemming kan omhoog duwen en ook rotatie tegenhouden, dus ze levert een verticale reactie R_A en een inklemmingsmoment M_A. ΣF_y = 0 geeft R_A, en momenten om de muur geven M_A = Σ(last × afstand tot de muur). Een verdeelde belasting werkt als haar resultante in het zwaartepunt van het belastingsdiagram.

Resultante van de verdeelde belasting

W = 6·5 = 30 kN, x̄ = 2,5 m

Moment om de muur

M_A = P·a + W·x̄ = 55·4 + 30·2,5 = 295 kN·m

Antwoord

M_A = 295 kN·m

4.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_B = 36 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen.

Resultante van de verdeelde belasting

W = 8·3 = 24 kN, x̄ = (5 + 8)/2 = 6,5 m

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·4 + 24·6,5

R_B = 216/6 = 36 kN

R_A = 39 − 36 = 3 kN

Antwoord

R_B = 36 kN

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: staaf CG

Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.

Knooppunt C

BC en CD liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen CG over.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Controleer met de knooppuntenmethode

Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).

AB: 23,44 kN (T), BC: 24,37 kN (T), CD: 24,37 kN (T), DE: 25,31 kN (T), FG: 23,44 kN (C), GH: 25,31 kN (C), AF: 39,06 kN (C), HE: 42,19 kN (C), BF: 31,25 kN (T), CG: 0, DH: 33,75 kN (T), BG: 1,563 kN (C), DG: 1,563 kN (T)

Antwoord

Nulstaaf: CG

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_BC = −9,449 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 35·5 − 30·4 → C_y = 9,167 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 9,167 = 25,83 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −9,167/0,9701 = −9,449 kN

Antwoord

F_BC = −9,449 kN (druk)

7.Raamwerken en machines

Antwoord: C = 1,944 kN

Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.

Trekstangkracht uit poot BC

B_y = 1 kN

T = 1·2/1,2 = 1,667 kN

Componenten van de pennenkracht op BC

C_x = T = 1,667 kN, C_y = −B_y = −1 kN

Grootte

C = √(1,667² + 1²) = 1,944 kN

Antwoord

C = 1,944 kN

8.Raamwerken en machines

Antwoord: F_CD = 27,13 kN

Resultante van de gelijkmatig verdeelde belasting

w·L = 1,5·2,5 = 3,75 kN op 1,25 m

Momenten om A voor de balk

F_CD·0,6839·1,6 = 3,75·1,25 + 10·2,5 = 29,69 kN·m

F_CD = 27,13 kN

Antwoord

F_CD = 27,13 kN

9.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 5,25 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·4·2

R_B = 48/4 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Snijd bij x = 3,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 12·3,5 − 6·3,5·1,75 = 5,25 kN·m

Antwoord

M_x = 5,25 kN·m

10.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 14,22 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·4·2

R_B = 32/6 = 5,333 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 5,333 = 10,67 kN

Dwarskracht nul

De dwarskracht begint bij R_A, blijft constant over elk onbelast deel en daalt met helling w binnen de belasting.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 10,67/4 = 2,667 m

Maximaal moment

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 10,67·2,667 − 4·2,667²/2 = 14,22 kN·m

Antwoord

M_max = 14,22 kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 10,59 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 280·25 = 7000 mm², y_f = 140 + 25/2 = 152,5 mm

lijf: A_w = 10·140 = 1400 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7000·152,5 + 1400·70)/8400 = 138,8 mm

Stelling van Steiner

flens: 280·25³/12 + 7000·(152,5 − 138,8)² = 1,688 × 10⁶ mm⁴

lijf: 10·140³/12 + 1400·(70 − 138,8)² = 8,904 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,688 × 10⁶ + 8,904 × 10⁶ = 1,059 × 10⁷ mm⁴ = 10,59 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 10,59 × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_j = 117,4 MPa

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 260 − 2·20 = 220 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (150·260³ − 142·220³)/12

I_x = 9,37 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

y = 130 − 20 = 110 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁸·110/9,37 × 10⁷ = 117,4 MPa

Antwoord

σ_j = 117,4 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics