Statica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Grootte: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Eenheidsvector: û = a/|a|
Componenten uit een hoek: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Inwendig product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b: a·b/|b|
Arbeid: W = F·d
Uitwendig product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Oppervlakken: parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O: M_O = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum: V = |a·(b × c)|

Methode

Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Raamwerken en machines

Evenwicht van elke staaf: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf: kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht: gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht: F = √(F_x² + F_y²)
Hefboom, tang, hoekhefboom: F_in·a = F_out·b
Kniehefboom: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting

Methode

Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Oefenopgaven

1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld

Bepaal de hoek θ tussen de vectoren a = (−4, 0, 2) en b = (5, −5, 2), in graden.

a = (−4, 0, 2)b = (5, −5, 2)

θ = °

2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk

Een kracht F = (−30, 30, −50) N werkt in punt A(−4, 2, 2). Coördinaten zijn in meter. Bepaal de z-component M_z van het moment van de kracht om punt O(−3, −1, −3).

F = (−30, 30, −50) NA(−4, 2, 2) mO(−3, −1, −3) m

M_z = N·m

3.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De uitkragende ligger is in A in de muur ingeklemd. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P op 8 m van de muur. Vind de grootte van het inklemmingsmoment M_A bij de muur.

L = 8 mP = 15 kN op 8 mw = 10 kN/m van 0 tot 8 m

M_A = kN·m

4.Oplegreacties van balkenMoeilijk

De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie R_A.

L = 5 mP = 50 kN op 3,5 mw = 8 kN/m van 1 tot 2 m

R_A = kN

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.

B: 20 kN ↓D: 10 kN ↓H: 30 kN ↓

1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf BG
13staaf DG

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 8 mhoogte = 3 mB ligt 6 m van Averticale belasting = 45 kNhorizontale belasting = 30 kN ←

F_AB = kN

7.Raamwerken en machinesGemiddeld

Een horizontale balk AB is in A scharnierend aan een muur bevestigd en wordt gesteund door de stut CD, die in C, 1,2 m onder A, scharnierend aan de muur zit. In B hangt een last van 10 kN. Verwaarloos de gewichten. Bepaal de grootte van de pennenkracht A op de balk in A.

P = 10 kNAD = 1 mAB = 2,4 mAC = 1,2 m

A = kN

8.Raamwerken en machinesMoeilijk

Een homogene horizontale giek AB met een gewicht van 2 kN is in A scharnierend aan een muur bevestigd en wordt vastgehouden door een kabel van zijn uiteinde B naar het punt C op de muur, 1 m boven A. In B hangt een last van 12 kN. Bepaal de spanning T in de kabel.

W = 12 kNW_b = 2 kNAB = 4 mAC = 1 m

T = kN

9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt een rechtsdraaiend koppel M₀ = 45 kN·m op x = 1 m vanaf A, en verder geen belasting. Vind het buigend moment M_x net links van het koppel. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mM₀ = 45 kN·m rechtsom, op 1 m

M_x = kN·m

10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

25 kN @ 0 m35 kN @ 12 m20 kN @ 6 m8 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 50 kN·m. Vind de grootte van de buigspanning σ_boven aan de bovenrand.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 180 mmM = 50 kN·m

σ_boven = MPa

3Oplossingen

1.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: θ = 119,1 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Inwendig product

a·b = (−4)·5 + 0·(−5) + 2·2 = −16

Groottes

|a| = √((−4)² + 0² + 2²) = 4,472

|b| = √(5² + (−5)² + 2²) = 7,348

Hoek

cos θ = −16/(4,472·7,348) = −0,4869

θ = arccos(−0,4869) = 119,1°

Antwoord

θ = 119,1°

2.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: M_z = 60 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Plaatsvector van O naar A

r = A − O = (−4, 2, 2) − (−3, −1, −3) = (−1, 3, 5) m

Moment M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 3·(−50) − 5·30 = −300 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 5·(−30) − (−1)·(−50) = −200 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−1)·30 − 3·(−30) = 60 N·m

Gevraagde component

M_z = 60 N·m

Antwoord

M_z = 60 N·m

3.Oplegreacties van balken

Antwoord: M_A = 440 kN·m

Evenwicht van een uitkragende ligger: een inklemming kan omhoog duwen en ook rotatie tegenhouden, dus ze levert een verticale reactie R_A en een inklemmingsmoment M_A. ΣF_y = 0 geeft R_A, en momenten om de muur geven M_A = Σ(last × afstand tot de muur). Een verdeelde belasting werkt als haar resultante in het zwaartepunt van het belastingsdiagram.

Resultante van de verdeelde belasting

W = 10·8 = 80 kN, x̄ = 4 m

Moment om de muur

M_A = P·a + W·x̄ = 15·8 + 80·4 = 440 kN·m

Antwoord

M_A = 440 kN·m

4.Oplegreacties van balken

Antwoord: R_A = 20,6 kN

Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.

Vrijlichaamsschema

Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.

Evenwicht

Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN, aangrijpend op x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·3,5 + 8·1·1,5

R_B = 187/5 = 37,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 58 − 37,4 = 20,6 kN

Antwoord

R_A = 20,6 kN

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: staaf CG

Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.

Knooppunt C

BC en CD liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen CG over.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Controleer met de knooppuntenmethode

Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).

AB: 33,33 kN (T), BC: 40 kN (T), CD: 40 kN (T), DE: 46,67 kN (T), FG: 33,33 kN (C), GH: 46,67 kN (C), AF: 41,67 kN (C), HE: 58,33 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 5 kN (T), BG: 8,333 kN (C), DG: 8,333 kN (T)

Antwoord

Nulstaaf: CG

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AB = −50,31 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·6 − 30·3 → C_y = 22,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 22,5 = 22,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

Knoop A

Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.

sin α = 3/6,708 = 0,4472

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −22,5/0,4472 = −50,31 kN

Antwoord

F_AB = −50,31 kN (druk)

7.Raamwerken en machines

Antwoord: A = 24,41 kN

Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.

Stutkracht

F_CD = 10·2,4/(0,7682·1) = 31,24 kN

Componenten in A

A_x = F_CD·cos α = 20 kN (naar de muur toe)

A_y = 10 − F_CD·sin α = −14 kN

Grootte

A = √(20² + −14²) = 24,41 kN

Antwoord

A = 24,41 kN

Een negatieve A_y betekent dat de muur de balk in A omlaag trekt.

8.Raamwerken en machines

Antwoord: T = 53,6 kN

Kabelhoek

BC = √(4² + 1²) = 4,123 m, sin β = 0,2425

Momenten om A

T·0,2425·4 = 12·4 + 2·2

T = 53,6 kN

Antwoord

T = 53,6 kN

9.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = −11,25 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Een uitwendig koppel laat de momentenlijn verspringen met de grootte van het koppel.

Oplegreacties

Momenten om A, linksom positief: R_B·L − M₀ = 0. Verticaal evenwicht: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 45/4 = 11,25 kN (omhoog)

R_A = −R_B = −11,25 kN (omlaag)

Snede net links van het koppel

Het linkerdeel bevat alleen R_A.

M_x = R_A·a = −11,25·1 = −11,25 kN·m

Antwoord

M_x = −11,25 kN·m

10.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: E (x = 8 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 40,67 kN, R₂ = 87,33 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = −50, M_C = −34,67, M_D = −51,33, M_E = −140 kN·m, M_F = −70, M_G = 0

Antwoord

Markering E: M_E = −140 kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 68,31 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 300·20 = 6000 mm², y_f = 240 + 20/2 = 250 mm

lijf: A_w = 20·240 = 4800 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·250 + 4800·120)/10800 = 192,2 mm

Stelling van Steiner

flens: 300·20³/12 + 6000·(250 − 192,2)² = 2,023 × 10⁷ mm⁴

lijf: 20·240³/12 + 4800·(120 − 192,2)² = 4,808 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,023 × 10⁷ + 4,808 × 10⁷ = 6,831 × 10⁷ mm⁴ = 68,31 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 68,31 × 10⁶ mm⁴

12.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_boven = 130,8 MPa

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187,5 mm

lijf: A_w = 14·180 = 2520 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·187,5 + 2520·90)/5520 = 143 mm

Stelling van Steiner

flens: 200·15³/12 + 3000·(187,5 − 143)² = 6 × 10⁶ mm⁴

lijf: 14·180³/12 + 2520·(90 − 143)² = 1,388 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6 × 10⁶ + 1,388 × 10⁷ = 1,988 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De bovenrand ligt h − ȳ van de as.

y = 195 − 143 = 52,01 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·52,01/1,988 × 10⁷ = 130,8 MPa

Antwoord

σ_boven = 130,8 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics