Statica: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Vectoren: inwendig en uitwendig product

Grootte: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Eenheidsvector: û = a/|a|
Componenten uit een hoek: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Inwendig product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b: a·b/|b|
Arbeid: W = F·d
Uitwendig product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Oppervlakken: parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O: M_O = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum: V = |a·(b × c)|

Methode

Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.

Oplegreacties van balken

Evenwicht: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting
Moment: M = F·d

Methode

Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣF_y = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.

Vakwerk: knopenmethode

Knopenmethode: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Snedemethode: ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht: positief = trek, negatief = druk

Methode

Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.

Raamwerken en machines

Evenwicht van elke staaf: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf: kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht: gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht: F = √(F_x² + F_y²)
Hefboom, tang, hoekhefboom: F_in·a = F_out·b
Kniehefboom: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting: resultante w·L in het midden van de belasting

Methode

Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Oefenopgaven

1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld

Bepaal het inwendig product a·b van a = (−1, −7, 1) en b = (0, −2, −1).

a = (−1, −7, 1)b = (0, −2, −1)

a·b =

2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk

Bepaal de oppervlakte A van de driehoek met hoekpunten A(1, −1, −3), B(−3, −3, −4) en C(−4, 3, −3). Coördinaten zijn in meter.

A(1, −1, −3)B(−3, −3, −4)C(−4, 3, −3)

A = m²

3.Oplegreacties van balkenGemiddeld

De uitkragende ligger is in A in de muur ingeklemd. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P op 4 m van de muur. Vind de grootte van het inklemmingsmoment M_A bij de muur.

L = 10 mP = 50 kN op 4 mw = 5 kN/m van 0 tot 10 m

M_A = kN·m

4.Oplegreacties van balkenMoeilijk

De uitkragende ligger is in A in de muur ingeklemd. Hij draagt een lineair verlopende belasting die 8 kN/m is bij de muur en afloopt tot nul aan het vrije uiteinde B, plus een puntlast P op 4 m van de muur. Vind de grootte van het inklemmingsmoment M_A bij de muur.

L = 5 mw₀ = 8 kN/mP = 20 kN op 4 m

M_A = kN·m

5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_AB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 5 mhoogte = 3 mB ligt 3 m van Averticale belasting = 15 kN

F_AB = kN

6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk

Gebruik de knopenmethode om de kracht F_BC in staaf BC te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.

overspanning = 6 mhoogte = 2 mB ligt 1 m van Averticale belasting = 25 kNhorizontale belasting = 25 kN ←

F_BC = kN

7.Raamwerken en machinesGemiddeld

De getoonde hoekhefboom draait om de pen O. Een verticale kracht van 300 N in A (200 mm van O) wordt in evenwicht gehouden door een horizontale kracht in B (60 mm boven O). Bepaal de grootte van de penreactie F_O.

F = 300 NOA = 200 mmOB = 60 mm

F_O = N

8.Raamwerken en machinesMoeilijk

Het getoonde raamwerk heeft scharnieren in A, B en C; A en C zitten 3 m uit elkaar aan de grond vast, en B ligt 3 m hoog en 0,9 m rechts van A. Staaf AB draagt een verticale belasting van 4 kN in K, 0,225 m (horizontaal) van A, en in B werkt een horizontale belasting van 8 kN naar rechts op staaf AB. Bepaal de grootte van de horizontale reactie A_x in A.

P = 4 kNQ = 8 kNL = 3 mH = 3 mhorizontale afstand A tot B = 0,9 mhorizontale afstand A tot K = 0,225 m

A_x = kN

9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

50 kN @ 3 m6 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

40 kN @ 12 m40 kN @ 2 m15 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een U-profiel ligt met de open kant naar boven: een bodemplaat van 260 mm breed met twee opstaande benen, 170 mm hoog in totaal. Bodem en benen zijn allemaal 12 mm dik. Vind de hoogte ȳ van het zwaartepunt boven de onderrand.

b = 260 mmh = 170 mmt = 12 mm

ȳ = mm

12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 160 mm breed en 24 mm dik, een totale hoogte van 460 mm en een lijf van 14 mm dik. Het draagt een buigend moment van 50 kN·m om de as x. Vind de grootte van de buigspanning σ_j bij de overgang van het lijf naar de bovenflens.

B = 160 mmH = 460 mmt_f = 24 mmt_w = 14 mmM = 50 kN·m

σ_j = MPa

3Oplossingen

1.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: a·b = 13

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Vermenigvuldig overeenkomstige componenten en tel op

a·b = (−1)·0 + (−7)·(−2) + 1·(−1) = 0 + 14 + (−1) = 13

Antwoord

a·b = 13

Positief: de hoek tussen de vectoren is kleiner dan 90°.

2.Vectoren: inwendig en uitwendig product

Antwoord: A = 13,39 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Zijdevectoren

AB = B − A = (−4, −2, −1)

AC = C − A = (−5, 4, 0)

Uitwendig product

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−2)·0 − (−1)·4 = 4

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−1)·(−5) − (−4)·0 = 5

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−4)·4 − (−2)·(−5) = −26

|AB × AC| = √(4² + 5² + (−26)²) = 26,78

Oppervlakte van de driehoek

A = ½·26,78 = 13,39 m²

Antwoord

A = 13,39 m²

3.Oplegreacties van balken

Antwoord: M_A = 450 kN·m

Evenwicht van een uitkragende ligger: een inklemming kan omhoog duwen en ook rotatie tegenhouden, dus ze levert een verticale reactie R_A en een inklemmingsmoment M_A. ΣF_y = 0 geeft R_A, en momenten om de muur geven M_A = Σ(last × afstand tot de muur). Een verdeelde belasting werkt als haar resultante in het zwaartepunt van het belastingsdiagram.

Resultante van de verdeelde belasting

W = 5·10 = 50 kN, x̄ = 5 m

Moment om de muur

M_A = P·a + W·x̄ = 50·4 + 50·5 = 450 kN·m

Antwoord

M_A = 450 kN·m

4.Oplegreacties van balken

Antwoord: M_A = 113,3 kN·m

Resultante van de driehoeksbelasting

W = ½·8·5 = 20 kN

x̄ = L/3 = 1,667 m

Moment om de muur

M_A = W·x̄ + P·a = 20·1,667 + 20·4 = 113,3 kN·m

Antwoord

M_A = 113,3 kN·m

5.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_AB = −8,485 kN

Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣF_x = 0 en ΣF_y = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·3 → C_y = 9 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 9 = 6 kN

Knoop A

Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −6/0,7071 = −8,485 kN

Antwoord

F_AB = −8,485 kN (druk)

6.Vakwerk: knopenmethode

Antwoord: F_BC = 11,22 kN

Oplegreacties

Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·1 − 25·2 → C_y = −4,167 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − −4,167 = 29,17 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Knoop C

De rol geeft alleen een verticale reactie, dus knoop C heeft maar twee onbekende staafkrachten. Neem aan dat beide op trek staan.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−4,167/0,3714 = 11,22 kN

Antwoord

F_BC = 11,22 kN (trek)

7.Raamwerken en machines

Antwoord: F_O = 1044 N

Machines: tangen, hefbomen, schakelwerk en klemmen zetten een ingaande kracht om in een grotere of anders gerichte uitgaande kracht. Teken één onderdeel als vrij lichaam en neem momenten om zijn draaipunt: de pennenkracht valt weg, en F_in·a = F_uit·b geeft het mechanisch voordeel a/b. De pennenkracht volgt dan uit ΣF = 0 voor hetzelfde onderdeel. In een kniehefboom komen twee schakels onder een kleine hoek θ samen; elke schakel is een tweekrachtsstaaf, dus een kleine kracht F in het gewricht veroorzaakt grote schakelkrachten F/(2 sin θ) en een klemkracht F/(2 tan θ).

Kracht in B

Q = 300·200/60 = 1000 N

Penreactie

O_x = 1000 N, O_y = 300 N

F_O = √(1000² + 300²) = 1044 N

Antwoord

F_O = 1044 N

8.Raamwerken en machines

Antwoord: A_x = 2,19 kN

Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.

Richting van BC

BC = 3,662 m, cos = 0,5735, sin = 0,8192

Heel raamwerk: momenten om A

F_BC·0,8192·3 = 4·0,225 + 8·3

F_BC = 10,13 kN

Horizontaal evenwicht

A_x + 8 − 10,13·0,5735 = 0

A_x = −2,19 kN → |A_x| = 2,19 kN

Antwoord

A_x = 2,19 kN

Het minteken betekent dat A_x naar links wijst.

9.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: D (x = 3 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 37 kN, R₂ = 37 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 37, M_C = 71, M_D = 99 kN·m, M_E = 71, M_F = 37, M_G = 0

Antwoord

Markering D: M_D = 99 kN·m

10.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: E (x = 8 m)

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 70 kN, R₂ = 130 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 110, M_C = 80, M_D = −10, M_E = −160 kN·m, M_F = −80, M_G = 0

Antwoord

Markering E: M_E = −160 kN·m

11.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: ȳ = 52,63 mm

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in rechthoeken

Neem de bodem over de volle breedte en de twee benen daarboven (hoogte h − t), zodat niets dubbel geteld wordt.

basis: A₁ = 260·12 = 3120 mm², y₁ = 6 mm

twee benen: A₂ = 2·12·158 = 3792 mm², y₂ = 12 + 158/2 = 91 mm

Zwaartepunt

ȳ = (3120·6 + 3792·91)/6912 = 52,63 mm

Antwoord

ȳ = 52,63 mm

12.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_j = 23,05 MPa

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 460 − 2·24 = 412 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (160·460³ − 146·412³)/12

I_x = 4,469 × 10⁸ mm⁴

Buigspanning

y = 230 − 24 = 206 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·206/4,469 × 10⁸ = 23,05 MPa

Antwoord

σ_j = 23,05 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics