Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Vectoren: inwendig en uitwendig product
Grootte
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Eenheidsvector
û = a/|a|
Componenten uit een hoek
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Inwendig product
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b
a·b/|b|
Arbeid
W = F·d
Uitwendig product
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Oppervlakken
parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O
MO = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum
V = |a·(b × c)|
Methode
Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.
Oplegreacties van balken
Evenwicht
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Moment
M = F·d
Methode
Teken een vrijlichaamsschema en vervang elke oplegging door haar reactiekrachten.
Vervang elke verdeelde belasting door één kracht in haar zwaartepunt.
Neem momenten om één oplegging om de reactiekracht in de andere te vinden.
Gebruik ΣFy = 0 om de overige reactiekracht te vinden, en controleer met een tweede momentenvergelijking.
Vakwerk: knopenmethode
Knopenmethode
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Snedemethode
ΣM = 0 about a cut point
Staafkracht
positief = trek, negatief = druk
Methode
Bepaal de oplegreacties van het hele vakwerk.
Knopenmethode: begin bij een knoop met hooguit twee onbekende staafkrachten en gebruik ΣFx = 0 en ΣFy = 0.
Snedemethode: snijd door de staaf die je nodig hebt en neem momenten om een punt waar de andere onbekende staven samenkomen.
Neem trek aan; een negatief antwoord betekent druk.
Raamwerken en machines
Evenwicht van elke staaf
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tweekrachtsstaaf
kracht langs de lijn door zijn twee scharnierpennen
Pennenkracht
gelijk en tegengesteld op de twee staven die hij verbindt
Grootte van een pennenkracht
F = √(Fx² + Fy²)
Hefboom, tang, hoekhefboom
Fin·a = Fout·b
Kniehefboom
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Gelijkmatig verdeelde belasting
resultante w·L in het midden van de belasting
Methode
Teken de hele constructie en bepaal de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn.
Herken de tweekrachtsstaven: ze zijn alleen in twee scharnierpunten belast, dus hun kracht werkt langs de lijn tussen die punten.
Haal het raamwerk uit elkaar en teken elke staaf apart, met gelijke en tegengestelde pennenkrachten waar staven samenkomen.
Neem voor elke staaf de momenten om een scharnierpunt met onbekende krachten, en gebruik dan ΣFx = 0 en ΣFy = 0; combineer de componenten pas aan het eind tot een grootte.
Dwarskracht en buigend moment
Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8
Methode
Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.
Zwaartepunt en traagheidsmoment
Zwaartepunt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechthoek
I = bh³/12
Stelling van Steiner
I = Ic + A·d²
Samengestelde doorsnede
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Oefenopgaven
1.Vectoren: inwendig en uitwendig productGemiddeld
Bepaal het inwendig product a·b van a = (−7, 3, −6) en b = (6, −3, 6).
a = (−7, 3, −6)b = (6, −3, 6)
a·b =
2.Vectoren: inwendig en uitwendig productMoeilijk
De eenheidsvector n̂ staat loodrecht op zowel a = (−1, −4, 3) als b = (−5, 1, 3) en heeft een positieve z-component. Bepaal zijn y-component n̂y.
a = (−1, −4, 3)b = (−5, 1, 3)n̂z > 0
n̂y =
3.Oplegreacties van balkenGemiddeld
De vrij opgelegde balk heeft een scharnier in A en een rol in B. Vind de verticale oplegreactie RB.
L = 10 mP1 = 35 kN op 1 mP2 = 55 kN op 7 m
RB = kN
4.Oplegreacties van balkenMoeilijk
Een samengestelde balk is in A in de muur ingeklemd, heeft een inwendig scharnier in C (3 m van A) en rust op een rol in D (8 m van A). Hij draagt een puntlast P op 7 m van A en een puntlast Q op 2 m van A. Vind de reactie RD bij de rol.
AC = 3 mAD = 8 mP = 70 kN op 7 mQ = 15 kN op 2 m
RD = kN
5.Vakwerk: knopenmethodeGemiddeld
Gebruik de knopenmethode om de kracht FAB in staaf AB te vinden. Geef trek als positief en druk als negatief.
overspanning = 6 mhoogte = 2 mB ligt 2 m van Averticale belasting = 40 kN
FAB = kN
6.Vakwerk: knopenmethodeMoeilijk
Precies één staaf van dit vakwerk draagt onder deze belastingen geen kracht. Welke is de nulstaaf? Klik erop in het diagram.
B: 30 kN ↓F: 10 kN ↓F: 30 kN →G: 10 kN ↓
1staaf AB
2staaf BC
3staaf CD
4staaf DE
5staaf FG
6staaf GH
7staaf AF
8staaf HE
9staaf BF
10staaf CG
11staaf DH
12staaf BG
13staaf DG
7.Raamwerken en machinesGemiddeld
Het getoonde A-frame staat op een scharnier in A en een rol in B, 6 m uit elkaar. De poten komen samen in het scharnier C, 3 m hoog, en de horizontale trekstang DE zit 1 m boven de grond. In C werkt een belasting van 8 kN. Bepaal de grootte van de kracht C die de pen C op poot BC uitoefent.
P = 8 kNAB = 6 mhoogte van C = 3 mhoogte van DE = 1 m
C = kN
8.Raamwerken en machinesMoeilijk
De balk AB van de getoonde wandconsole is in A scharnierend bevestigd en wordt gesteund door de stut CD (C ligt 0,5 m onder A). De balk draagt over zijn hele lengte een gelijkmatig verdeelde belasting van 5 kN/m en een puntlast van 10 kN aan zijn vrije uiteinde B. Bepaal de kracht FCD in de stut.
w = 5 kN/mP = 10 kNAD = 1,2 mAB = 2,4 mAC = 0,5 m
FCD = kN
9.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
De vrij opgelegde balk draagt een rechtsdraaiend koppel M0 = 20 kN·m op x = 4,5 m vanaf A, en verder geen belasting. Vind het buigend moment Mx net links van het koppel. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.
L = 6 mM0 = 20 kN·m rechtsom, op 4,5 m
Mx = kN·m
10.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting over een deel van de overspanning. Vind het maximale buigend moment Mmax in de balk.
L = 4 mw = 20 kN/m van 1 tot 3 m
Mmax = kN·m
11.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld
Een plaat van 150 mm × 150 mm heeft een rond gat met een diameter van 30 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 60 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment Ix om de horizontale as door het zwaartepunt.
b = 150 mmh = 150 mmd = 30 mmmiddelpunt van het gat: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk
Een plaat van 150 mm × 300 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 40 mm breed en 20 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 105 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment Ix om de horizontale as door het zwaartepunt.
b = 150 mmh = 300 mmuitsparing: 40 × 20 mmmiddelpunt van het gat: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Oplossingen
1.Vectoren: inwendig en uitwendig product
Antwoord: a·b = −87
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Vermenigvuldig overeenkomstige componenten en tel op
Negatief: de hoek tussen de vectoren is groter dan 90°.
2.Vectoren: inwendig en uitwendig product
Antwoord: n̂y = 0,4216
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Uitwendig product
(a × b)x = aybz − azby = (−4)·3 − 3·1 = −15
(a × b)y = azbx − axbz = 3·(−5) − (−1)·3 = −12
(a × b)z = axby − aybx = (−1)·1 − (−4)·(−5) = −21
Normeren
De z-component van a × b is negatief, dus gebruik −(a × b).
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Momenten nemen om één oplegging haalt de reactie van die oplegging uit de vergelijking.
Vrijlichaamsschema
Vervang de opleggingen door reactiekrachten. Een rol geeft één verticale reactie; met alleen verticale belastingen geeft het scharnier ook één verticale reactie.
Evenwicht
Momenten om A, tegen de klok in positief. Daarna het verticale krachtenevenwicht.
ΣMA = 0: RB·10 = 35·1 + 55·7
RB = 420/10 = 42 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 42 = 48 kN
Antwoord
RB = 42 kN
4.Oplegreacties van balken
Antwoord: RD = 56 kN
Statisch evenwicht: een lichaam in rust heeft ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 om elk punt. Vervang elke verdeelde belasting door haar resultante (de oppervlakte) die aangrijpt in het zwaartepunt van het belastingsdiagram, en neem momenten om een oplegging om de reactie van die oplegging uit de vergelijking te halen. Een inwendig scharnier kan geen buigend moment dragen, wat één extra vergelijking geeft: het moment om het scharnier van de krachten aan één kant is nul.
Deel CD
Het scharnier heeft geen moment, dus de momenten om C op alleen CD moeten in evenwicht zijn.
ΣMC = 0: RD·5 = 70·4
RD = 56 kN
VC = 70 − 56 = 14 kN
Antwoord
RD = 56 kN
5.Vakwerk: knopenmethode
Antwoord: FAB = −37,71 kN
Knopenmethode: elke knoop van een vakwerk is in evenwicht, dus ΣFx = 0 en ΣFy = 0 in elke knoop. Begin bij een knoop met hoogstens twee onbekende staafkrachten. Een negatief resultaat betekent dat de staaf op druk staat.
Oplegreacties
Evenwicht van het hele vakwerk. Momenten om A, tegen de klok in positief.
ΣMA = 0: Cy·6 = 40·2 → Cy = 13,33 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 13,33 = 26,67 kN
Knoop A
Neem aan dat elke staaf op trek staat (trekt van de knoop af). Alleen AB heeft een verticale component in A.
sin α = 2/2,828 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −26,67/0,7071 = −37,71 kN
Antwoord
FAB = −37,71 kN (druk)
6.Vakwerk: knopenmethode
Antwoord: staaf CG
Nulstaven: in een knooppunt moeten de krachten in elke richting in evenwicht zijn. Als een knooppunt geen belasting en geen oplegging heeft, en twee van zijn drie staven op één lijn liggen, dan betrekt het evenwicht dwars op die lijn alleen de derde staaf, dus haar kracht is nul. Als er maar twee staven samenkomen in een onbelast knooppunt en ze niet op één lijn liggen, zijn beide nul.
Knooppunt C
BC en CD liggen op één rechte lijn en het knooppunt draagt geen belasting. Het krachtenevenwicht dwars op die lijn laat alleen CG over.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Controleer met de knooppuntenmethode
Het oplossen van alle knooppunten geeft deze staafkrachten (T = trek, C = druk).
Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.
Trekstangkracht uit poot BC
By = 4 kN
T = 4·3/2 = 6 kN
Componenten van de pennenkracht op BC
Cx = T = 6 kN, Cy = −By = −4 kN
Grootte
C = √(6² + 4²) = 7,211 kN
Antwoord
C = 7,211 kN
8.Raamwerken en machines
Antwoord: FCD = 83,2 kN
Raamwerken en machines: anders dan een vakwerk bevat een raamwerk minstens één staaf die op meer dan twee punten krachten draagt, of een belasting tussen zijn scharnierpunten. Zoek eerst de tweekrachtsstaven: een staaf die alleen in twee scharnierpunten is belast, heeft zijn kracht langs de lijn door die punten, dus hij voegt één onbekende toe, geen twee. Gebruik dan de hele constructie voor de oplegreacties als er niet meer dan drie onbekenden zijn. Haal ten slotte het raamwerk uit elkaar: teken elke staaf apart, met pennenkrachten die gelijk en tegengesteld zijn op de twee staven die ze verbinden, en schrijf ΣFx = 0, ΣFy = 0 en ΣM = 0 ervoor op. Momenten nemen om een scharnierpen haalt beide componenten van die pennenkracht uit de vergelijking.
Resultante van de gelijkmatig verdeelde belasting
w·L = 5·2,4 = 12 kN op 1,2 m
Momenten om A voor de balk
FCD·0,3846·1,2 = 12·1,2 + 10·2,4 = 38,4 kN·m
FCD = 83,2 kN
Antwoord
FCD = 83,2 kN
9.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: Mx = −15 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Een uitwendig koppel laat de momentenlijn verspringen met de grootte van het koppel.
Oplegreacties
Momenten om A, linksom positief: RB·L − M0 = 0. Verticaal evenwicht: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 20/6 = 3,333 kN (omhoog)
RA = −RB = −3,333 kN (omlaag)
Snede net links van het koppel
Het linkerdeel bevat alleen RA.
Mx = RA·a = −3,333·4,5 = −15 kN·m
Antwoord
Mx = −15 kN·m
10.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: Mmax = 30 kN·m
Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.
Oplegreacties
Evenwicht van de hele balk.
Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 20·2 = 40 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 20·2·2
RB = 80/4 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
Dwarskracht nul
De dwarskracht begint bij RA, blijft constant over elk onbelast deel en daalt met helling w binnen de belasting.
Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft Ic = bh³/12 en een cirkel Ic = πd⁴/64.
Zwaartepunt
ȳ = (22500·75 − 706,9·60)/(22500 − 706,9) = 75,49 mm
Volle plaat om ȳ
150·150³/12 + 22500·−0,4865² = 42,19 × 10⁶ mm⁴
Gat om ȳ
π·30⁴/64 + 706,9·−15,49² = 0,2093 × 10⁶ mm⁴
Trek af
Ix = 41,98 × 10⁶ mm⁴
Antwoord
Ix = 41,98 × 10⁶ mm⁴
12.Zwaartepunt en traagheidsmoment
Antwoord: Ix = 335,8 × 10⁶ mm⁴
Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft Ic = bh³/12 en een cirkel Ic = πd⁴/64.
Zwaartepunt
ȳ = (45000·150 − 800·105)/(45000 − 800) = 150,8 mm