Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 28, 20, 41, 19, 24, 36, 15.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 12. Bereken de z-score z van een score van 62.

μ = 50σ = 12x = 62

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,05, 0,3, 0,15, 0,3

Var(X) =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 10 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,6. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 10p = 0,6

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,0475 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,0475

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 20% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 500 hσ = 40 h20%

x = h

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 15 items heeft gemiddelde 12 en standaardafwijking s = 7. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 15x̄ = 12s = 795%t(14) = 2,145

bovengrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 10. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft?

σ = 10E = 390%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 100 studenten heeft een gemiddelde score van 195,3 en een steekproefstandaardafwijking van 15. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 195,3s = 15n = 100

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets bij α = 0,05 moet een verschuiving van het gemiddelde van 1 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 80 %. De standaardafwijking is 4. Bereken de minimale steekproefomvang n.

α = 0,05onderscheidend vermogen = 80%δ = 1σ = 4z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 6

r² =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (17, 91) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(17, 91)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 9,477

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 183/7 = 26,14

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 1,857² + (−6,143)² + 14,86² + (−7,143)² + (−2,143)² + 9,857² + (−11,14)² = 538,9

Standaardafwijking

s = √(538,9/6) = 9,477

Antwoord

s = 9,477

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 1

Standaardiseren

z = (62 − 50)/12 = 1

Antwoord

z = 1

3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 2,11

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 1·0,2 + 2·0,05 + 3·0,3 + 4·0,15 + 5·0,3 = 3,3

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,05 + 9·0,3 + 16·0,15 + 25·0,3 = 13

Variantie

Var(X) = 13 − 3,3² = 2,11

Antwoord

Var(X) = 2,11

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,001678

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,4¹⁰ = 0,0001049

P(X = 1) = 10·0,6·0,4⁹ = 0,001573

Tel ze op

P = 0,0001049 + 0,001573 = 0,001678

Antwoord

P = 0,001678

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 1,67

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,0475 = 0,9525

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,9525 in de tabel en lees z af.

z = 1,67

Antwoord

z = 1,67

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 466 h

Oppervlak links

Φ(z) = 0,2

z uit de tabel

z ≈ −0,84

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 500 − 0,84·40 = 466 h

Antwoord

x = 466 h

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 15,88

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 14, t = 2,145

Foutmarge

E = 2,145·7/√15 = 3,877

Interval

12 ± 3,877 → [8,123, 15,88]

Antwoord

bovengrens = 15,88

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 31

n oplossen

n = (1,645·10/3)² = 30,07

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 31

Antwoord

n = 31

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −3,133

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5

Toetsingsgrootheid

t = (195,3 − 200)/1,5 = −3,133

Antwoord

t = −3,133

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 99

Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.

n oplossen

n = ((1,645 + 0,842)·4/1)² = 98,96

Naar boven afronden

n = 99

Antwoord

n = 99

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,9112

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 420/6 = 70

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 190

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 566

Determinatiecoëfficiënt

r² = 190²/(70·566) = 0,9112

Antwoord

r² = 0,9112

Ongeveer 91,12% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 1,8

Gemiddelden

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 474/5 = 94,8

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 224

Regressielijn

b = 224/40 = 5,6

a = 94,8 − 5,6·18 = −6

ŷ = −6 + 5,6·x

Voorspelde waarde

ŷ = −6 + 5,6·17 = 89,2

Residu

e = 91 − 89,2 = 1,8

Antwoord

e = 1,8

Het punt ligt boven de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1