Beschrijvende statistiek
- Gemiddelde
- x̄ = Σx/n
- Steekproefstandaardafwijking
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediaan
- middelste waarde van de gesorteerde gegevens
- z-score
- z = (x − μ)/σ
- Normale verdeling
- 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ
Inleiding statistiek: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Kansrekening
- Complement
- P(not A) = 1 − P(A)
- Somregel
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Onafhankelijke gebeurtenissen
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Voorwaardelijke kans
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomiaal
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normale verdeling
- z-score
- z = (x − μ)/σ
- Onder x
- P(X < x) = Φ(z)
- Boven x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tussen
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentiel
- x = μ + z·σ
Methode
- Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
- Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
- Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
- Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.
Betrouwbaarheidsintervallen
- σ bekend
- x̄ ± z·σ/√n
- σ onbekend
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritieke z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Steekproefomvang
- n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
- Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
- Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
- Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
- Interval: x̄ ± E.
Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
- z-toets voor een gemiddelde
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-toets voor een gemiddelde
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Tweezijdig bij 5%
- verwerp H0 als |z| > 1,96
- Betrouwbaarheidsinterval
- x̄ ± z·σ/√n
Methode
- Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
- Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
- Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
- Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.
Lineaire regressie en correlatie
- Kwadratensommen
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Helling
- b = Sxy/Sxx
- Snijpunt met de y-as
- a = ȳ − b·x̄
- Correlatie
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Oefenopgaven
1.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 43, 14, 10, 18, 46.
n = 5
s =
2.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 8. Welk deel P van de waarden ligt onder 84?
μ = 100σ = 8x = 84
P =
3.KansrekeningGemiddeld
Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 4 personen kiezen uit een groep van 6? De volgorde doet er niet toe.
n = 6k = 4
N =
4.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 10 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,7. Wat is de kans P op precies 3 goede antwoorden?
n = 10p = 0,7k = 3
P =
5.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,9032 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,9032
z =
6.Normale verdelingMoeilijk
De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Bereken de waarde x waaronder 99% ervan ligt (het 99e percentiel).
μ = 100σ = 15P = 99%
x = punten
7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 10 items heeft gemiddelde 57 en standaardafwijking s = 2. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 10x̄ = 57s = 290%t(9) = 1,833
bovengrens =
8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 11 proefvelden, gemiddelde opbrengst 74,5 kg, standaardafwijking 3 kg. Groep 2: 5 proefvelden, gemiddelde 76 kg, standaardafwijking 1,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de bovengrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
n₁ = 11x̄₁ = 74,5s₁ = 3n₂ = 5x̄₂ = 76s₂ = 1,599%t(14) = 2,977
bovengrens = kg
9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 6 studenten, gemiddelde score 111, standaardafwijking 4,5. Groep 2: 20 studenten, gemiddelde score 106,5, standaardafwijking 10,5. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).
n₁ = 6x̄₁ = 111s₁ = 4,5n₂ = 20x̄₂ = 106,5s₂ = 10,5
t =
10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
Een eenzijdige z-toets bij α = 0,01 moet een verschuiving van het gemiddelde van 5 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 80 %. De standaardafwijking is 13. Bereken de minimale steekproefomvang n.
α = 0,01onderscheidend vermogen = 80%δ = 5σ = 13zα = 2,326zβ = 0,842
n =
11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6
r =
12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 22?
n = 6ŷ = 22
x =
3Oplossingen
1.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 16,98
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Gemiddelde
x̄ = 131/5 = 26,2
Gekwadrateerde afwijkingen
Σ(x − x̄)² = 16,8² + (−12,2)² + (−16,2)² + (−8,2)² + 19,8² = 1153
Standaardafwijking
s = √(1153/4) = 16,98
Antwoord
s = 16,98
2.Beschrijvende statistiek
Antwoord: P = 0,02275
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −2
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Antwoord
P = 0,02275
3.Kansrekening
Antwoord: N = 15
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaties
C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15
Antwoord
N = 15
4.Kansrekening
Antwoord: P = 0,009002
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binomiale formule
P(X = 3) = 120·0,73·0,37 = 120·0,343·0,0002187 = 0,009002
Antwoord
P = 0,009002
5.Normale verdeling
Antwoord: z = −1,3
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = 1 − 0,9032 = 0,0968
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,0968 in de tabel en lees z af.
z = −1,30
Antwoord
z = −1,30
6.Normale verdeling
Antwoord: x = 134,9 punten
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Terug naar x
x = 100 + 2,326·15 = 134,89 punten
Antwoord
x = 134,89 punten
7.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = 58,16
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 9, t = 1,833
Foutmarge
E = 1,833·2/√10 = 1,159
Interval
57 ± 1,159 → [55,84, 58,16]
Antwoord
bovengrens = 58,16
8.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = 2,77 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolde standaardafwijking
sp² = (10·3² + 4·1,5²)/14 = 7,071
sp = 2,659
Foutmarge
E = 2,977·2,659·√(1/11 + 1/5) = 4,27
Interval
−1,5 ± 4,27 → [−5,77, 2,77]
Antwoord
bovengrens = 2,77 kg
9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 1,011
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Gepoolde variantie
sp² = (5·4,5² + 19·10,5²)/24 = 91,5
sp = 9,566
Standaardfout
SE = 9,566·√(1/6 + 1/20) = 4,453
Toetsingsgrootheid
t = (111 − 106,5)/4,453 = 1,011
Antwoord
t = 1,011
Bij df = 24 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,064; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.
10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 68
Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.
n oplossen
n = ((2,326 + 0,842)·13/5)² = 67,84
Naar boven afronden
n = 68
Antwoord
n = 68
11.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9867
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 153/6 = 25,5
ȳ = 685/6 = 114,2
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 820,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 4391
Correlatiecoëfficiënt
r = 820,5/√(157,5·4391) = 0,9867
Antwoord
r = 0,9867
12.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 7,428
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 125/6 = 20,83
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 191
Regressielijn
b = 191/70 = 2,729
a = 20,83 − 2,729·7 = 1,733
ŷ = 1,733 + 2,729·x
Los op naar x
x = (22 − 1,733)/2,729 = 7,428
Antwoord
x = 7,428
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1