Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 19, 50, 46, 29, 44, 37.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 8. Welk deel P van de waarden ligt onder 104,8?

μ = 100σ = 8x = 104,8

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 5 personen kiezen uit een groep van 9? De volgorde doet er niet toe.

n = 9k = 5

N =

4.KansrekeningMoeilijk

Een spel kost €10 inzet. Je wint €40 met kans 0,15 en €500 met kans 0,01; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €10€40: p = 0,15€500: p = 0,01

E(G) = €

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,0281 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,0281

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De rondetijd X van loper A en de rondetijd Y van loper B zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 52 s en standaardafwijking 4 s, Y heeft gemiddelde 48 s en standaardafwijking 3 s. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 9 items heeft gemiddelde 68,5 en standaardafwijking s = 2,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 9x̄ = 68,5s = 2,599%t(8) = 3,355

bovengrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 10 proefvelden, gemiddelde opbrengst 53,5 kg, standaardafwijking 7,5 kg. Groep 2: 6 proefvelden, gemiddelde 61,5 kg, standaardafwijking 3,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 10x̄₁ = 53,5s₁ = 7,5n₂ = 6x̄₂ = 61,5s₂ = 3,590%t(14) = 1,761

bovengrens = kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 64 studenten heeft een gemiddelde score van 498,6 en een steekproefstandaardafwijking van 8. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 498,6s = 8n = 64

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 200 tegen H₁: μ > 200 wordt uitgevoerd bij α = 0,01 met een steekproef van 36; de standaardafwijking is bekend en is 3. In werkelijkheid is het gemiddelde 201,1. Bereken het onderscheidend vermogen 1 − β van de toets in procenten.

μ₀ = 200μ = 201,1σ = 3n = 36α = 0,01

1 − β = %

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6Σx = 129Σy = 519Σx² = 2931Σy² = 46483Σxy = 11652

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (6,5, 74) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 6(6,5, 74)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 11,71

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 225/6 = 37,5

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−18,5)² + 12,5² + 8,5² + (−8,5)² + 6,5² + (−0,5)² = 685,5

Standaardafwijking

s = √(685,5/5) = 11,71

Antwoord

s = 11,71

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,7257

Standaardiseren

z = 0,6

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Antwoord

P = 0,7257

3.Kansrekening

Antwoord: N = 126

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(9, 5) = (9·8·7·6·5)/(5·4·3·2·1) = 126

Antwoord

N = 126

4.Kansrekening

Antwoord: E(G) = 1 €

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Netto-uitkomsten

G: 30 (p = 0,15), 490 (p = 0,01), −10 (p = 0,84)

Verwachtingswaarde

E(G) = 30·0,15 + 490·0,01 − 10·0,84 = 1 €

Antwoord

E(G) = 1 €

Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 1,91

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,0281 = 0,9719

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,9719 in de tabel en lees z af.

z = 1,91

Antwoord

z = 1,91

6.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,7881

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het verschil

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standaardiseren

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Kansrekening

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Antwoord

P = 0,7881

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 71,3

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 8, t = 3,355

Foutmarge

E = 3,355·2,5/√9 = 2,796

Interval

68,5 ± 2,796 → [65,7, 71,3]

Antwoord

bovengrens = 71,3

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = −2,21 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (9·7,5² + 5·3,5²)/14 = 40,54

s_p = 6,367

Foutmarge

E = 1,761·6,367·√(1/10 + 1/6) = 5,79

Interval

−8 ± 5,79 → [−13,79, −2,21]

Antwoord

bovengrens = −2,21 kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −1,4

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 8/√64 = 8/8 = 1

Toetsingsgrootheid

t = (498,6 − 500)/1 = −1,4

Antwoord

t = −1,4

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: 1 − β = 44,99 %

Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritiek steekproefgemiddelde

SE = 3/√36 = 0,5

x̄_c = 200 + 2,326·0,5 = 201,2

z onder het ware gemiddelde

z = (201,2 − 201,1)/0,5 = 0,126

Vermogen

onderscheidend vermogen = P(Z > 0,126) = 44,99%

1 − β = 44,99%

Antwoord

1 − β = 44,99%

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9863

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 11652 − 129·519/6 = 493,5

S_xx = 2931 − 129²/6 = 157,5

S_yy = 46483 − 519²/6 = 1590

Correlatiecoëfficiënt

r = 493,5/√(157,5·1590) = 0,9863

Antwoord

r = 0,9863

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = −4,786

Gemiddelden

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 429/6 = 71,5

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 127,5

Regressielijn

b = 127,5/17,5 = 7,286

a = 71,5 − 7,286·5,5 = 31,43

ŷ = 31,43 + 7,286·x

Voorspelde waarde

ŷ = 31,43 + 7,286·6,5 = 78,79

Residu

e = 74 − 78,79 = −4,786

Antwoord

e = −4,786

Het punt ligt onder de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1