Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 56, 28, 52, 38, 18.

n = 5

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 15. Bereken de z-score z van een score van 56.

μ = 50σ = 15x = 56

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Er wordt 6 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?

n = 6

P =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 9 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,4. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 9p = 0,4

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,7642 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,7642

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Bereken de waarde x waaronder 20% ervan ligt (het 20e percentiel).

μ = 178σ = 7P = 20%

x = cm

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 50 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 5,3. Wat is de foutmarge E₂ van een 99%-interval uit dezelfde data?

95%n₁ = 50E₁ = 5,399%

E₂ =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 29. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft?

σ = 29E = 390%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 80 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 70,5 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 3 mm. Lijn 2: een steekproef van 80 onderdelen heeft gemiddelde 69,4 mm, bekende standaardafwijking 10 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).

n₁ = 80x̄₁ = 70,5 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 80x̄₂ = 69,4 mmσ₂ = 10 mm

z =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 200 tegen H₁: μ < 200 wordt uitgevoerd bij α = 0.01 met een steekproef van 25; de standaardafwijking is bekend en is 7.5. In werkelijkheid is het gemiddelde 194.6. Bereken het onderscheidend vermogen 1 − β van de toets in procenten.

μ₀ = 200μ = 194,6σ = 7,5n = 25α = 0,01

1 − β = %

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 42?

n = 6ŷ = 42

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 15,96

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 192/5 = 38,4

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 17,6² + (−10,4)² + 13,6² + (−0,4)² + (−20,4)² = 1019

Standaardafwijking

s = √(1019/4) = 15,96

Antwoord

s = 15,96

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 0,4

Standaardiseren

z = (56 − 50)/15 = 0,4

Antwoord

z = 0,4

3.Kansrekening

Antwoord: P = 0,6651

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complement

P(geen zes) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Antwoord

P = 0,6651

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,07054

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,6⁹ = 0,01008

P(X = 1) = 9·0,4·0,6⁸ = 0,06047

Tel ze op

P = 0,01008 + 0,06047 = 0,07054

Antwoord

P = 0,07054

5.Normale verdeling

Antwoord: z = −0,72

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,7642 = 0,2358

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,2358 in de tabel en lees z af.

z = −0,72

Antwoord

z = −0,72

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 172,1 cm

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Terug naar x

x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm

Antwoord

x = 172,11 cm

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E₂ = 6,966

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Verhouding van de marges

E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(50/50) = 1,314

Nieuwe marge

E₂ = 5,3·1,314 = 6,966

Antwoord

E₂ = 6,966

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 253

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (1,645·29/3)² = 252,9

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 253

Antwoord

n = 253

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = 0,9424

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standaardfout van het verschil

SE = √(3²/80 + 10²/80) = √1,363 = 1,167

Toetsingsgrootheid

z = (70,5 − 69,4)/1,167 = 0,9424

Antwoord

z = 0,9424

|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: 1 − β = 89,87 %

Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritiek steekproefgemiddelde

SE = 7,5/√25 = 1,5

x̄_c = 200 − 2,326·1,5 = 196,5

z onder het ware gemiddelde

z = (196,5 − 194,6)/1,5 = 1,274

Vermogen

onderscheidend vermogen = P(Z < 1.274) = 89.87%

1 − β = 89,87%

Antwoord

1 − β = 89,87%

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = −0,9791

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 87/5 = 17,4

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 65,2

Correlatiecoëfficiënt

r = −25/√(10·65,2) = −0,9791

Antwoord

r = −0,9791

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 15,56

Gemiddelden

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 365/6 = 60,83

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 499,5

Regressielijn

b = 499,5/157,5 = 3,171

a = 60,83 − 3,171·21,5 = −7,352

ŷ = −7,352 + 3,171·x

Los op naar x

x = (42 − (−7,352))/3,171 = 15,56

Antwoord

x = 15,56

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1