Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 27, 51, 14, 53, 52, 56, 26.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 5. Welk deel P van de waarden ligt onder 46?

μ = 50σ = 5x = 46

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 5 personen kiezen uit een groep van 15? De volgorde doet er niet toe.

n = 15k = 5

N =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 5 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,5. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 5p = 0,5

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,1446 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,1446

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Bereken de waarde x waaronder 90% ervan ligt (het 90e percentiel).

μ = 178σ = 7P = 90%

x = cm

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 30 telefoons, gemiddelde 133 h, bekende standaardafwijking 3 h. Model 2: 80 telefoons, gemiddelde 130 h, bekende standaardafwijking 17 h. Bereken de foutmarge E van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 133 hσ₁ = 3 hn₂ = 80x̄₂ = 130 hσ₂ = 17 h90%

E = h

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De diameters van 11 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 1,2 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de bovengrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 10 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 3,247 en 2,5% boven 20,483.

n = 11s = 1,2 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 8 studenten, gemiddelde score 23,5, standaardafwijking 4. Groep 2: 6 studenten, gemiddelde score 17,7, standaardafwijking 10. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).

n₁ = 8x̄₁ = 23,5s₁ = 4n₂ = 6x̄₂ = 17,7s₂ = 10

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

In een onderzoek herstellen 32 van de 80 patiënten met behandeling A en 26 van de 80 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 32n₁ = 80x₂ = 26n₂ = 80

z =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (4,5, 13) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(4,5, 13)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 16,98

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 279/7 = 39,86

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−12,86)² + 11,14² + (−25,86)² + 13,14² + 12,14² + 16,14² + (−13,86)² = 1731

Standaardafwijking

s = √(1731/6) = 16,98

Antwoord

s = 16,98

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,2119

Standaardiseren

z = −0,8

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Antwoord

P = 0,2119

3.Kansrekening

Antwoord: N = 3003

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(15, 5) = (15·14·13·12·11)/(5·4·3·2·1) = 3003

Antwoord

N = 3003

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,1875

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,5⁵ = 0,03125

P(X = 1) = 5·0,5·0,5⁴ = 0,1563

Tel ze op

P = 0,03125 + 0,1563 = 0,1875

Antwoord

P = 0,1875

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 1,06

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,1446 = 0,8554

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,8554 in de tabel en lees z af.

z = 1,06

Antwoord

z = 1,06

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 187 cm

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Terug naar x

x = 178 + 1,282·7 = 186,97 cm

Antwoord

x = 186,97 cm

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 3,254 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Puntschatting

x̄₁ − x̄₂ = 133 − 130 = 3

Standaardfout

SE = √(3²/30 + 17²/80) = 1,978

Foutmarge

E = 1,645·1,978 = 3,254

Antwoord

E = 3,254 h

Het interval bevat 0, dus de data laten geen significant verschil zien.

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: σ = 2,106 µm

Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.

Kwadratensom

(n − 1)s² = 10·1,2² = 14,4

Grenzen voor σ²

14,4/20,483 = 0,703

14,4/3,247 = 4,435

Grens voor σ

σ = √4,435 = 2,106 µm

Antwoord

σ = 2,106 µm

95%-interval voor σ: [0,8385, 2,106] µm.

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 1,504

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Gepoolde variantie

s_p² = (7·4² + 5·10²)/12 = 51

s_p = 7,141

Standaardfout

SE = 7,141·√(1/8 + 1/6) = 3,857

Toetsingsgrootheid

t = (23,5 − 17,7)/3,857 = 1,504

Antwoord

t = 1,504

Bij df = 12 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,179; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = 0,9867

Steekproeffracties

p̂₁ = 32/80 = 0,4

p̂₂ = 26/80 = 0,325

p̂ = 58/160 = 0,3625

Standaardfout onder H₀

SE = √(0,3625·0,6375·(1/80 + 1/80)) = 0,07601

Toetsingsgrootheid

z = (0,4 − 0,325)/0,07601 = 0,9867

Antwoord

z = 0,9867

|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9979

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 135/6 = 22,5

ȳ = 700/6 = 116,7

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 993

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 6287

Correlatiecoëfficiënt

r = 993/√(157,5·6287) = 0,9979

Antwoord

r = 0,9979

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = −1,85

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 93/5 = 18,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25

Regressielijn

b = −25/10 = −2,5

a = 18,6 − (−2,5)·3 = 26,1

ŷ = 26,1 − 2,5·x

Voorspelde waarde

ŷ = 26,1 + (−2,5)·4,5 = 14,85

Residu

e = 13 − 14,85 = −1,85

Antwoord

e = −1,85

Het punt ligt onder de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1