Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 53, 33, 14, 57, 36, 41.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 12. Welk deel P van de waarden ligt onder 177,2?

μ = 170σ = 12x = 177,2

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 5 personen kiezen uit een groep van 8? De volgorde doet er niet toe.

n = 8k = 5

N =

4.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 2X + 5. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 2X + 5

σ_Y =

5.Normale verdelingGemiddeld

De massa's van zakken cement zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 kg en standaardafwijking 0,5 kg. Bepaal de kans P dat de totale massa van 5 ervan kleiner is dan 125,6 kg. Rond z af op twee decimalen.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 5< 125.6 kg

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 20% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 178 cmσ = 7 cm20%

x = cm

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 50 telefoons, gemiddelde 64,5 h, bekende standaardafwijking 14 h. Model 2: 40 telefoons, gemiddelde 49,5 h, bekende standaardafwijking 15 h. Bereken de foutmarge E van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 64,5 hσ₁ = 14 hn₂ = 40x̄₂ = 49,5 hσ₂ = 15 h95%

E = h

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een vooronderzoek wijst erop dat ongeveer 0,6 van de producten defect is. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,02 heeft?

p ≈ 0,6E = 0,0299%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 100 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 32. Een aselecte steekproef van 64 waarnemingen heeft een gemiddelde van 105,76. Toets H₀: μ = 100 tegen H₁: μ > 100. Bereken de p-waarde p.

μ₀ = 100σ = 32n = 64x̄ = 105,76H₁: μ > μ₀

p =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 100 tegen H₁: μ > 100 wordt uitgevoerd bij α = 0,01 met een steekproef van 64; de standaardafwijking is bekend en is 4. In werkelijkheid is het gemiddelde 101,7. Bereken het onderscheidend vermogen 1 − β van de toets in procenten.

μ₀ = 100μ = 101,7σ = 4n = 64α = 0,01

1 − β = %

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 5

r² =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (21,5, 96) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(21,5, 96)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 15,45

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 234/6 = 39

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 14² + (−6)² + (−25)² + 18² + (−3)² + 2² = 1194

Standaardafwijking

s = √(1194/5) = 15,45

Antwoord

s = 15,45

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,7257

Standaardiseren

z = 0,6

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Antwoord

P = 0,7257

3.Kansrekening

Antwoord: N = 56

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(8, 5) = (8·7·6·5·4)/(5·4·3·2·1) = 56

Antwoord

N = 56

4.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 1,673

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Spreiding van X

μ = 1, Var(X) = 0,7, σ_X = 0,8367

Lineaire transformatie

σ_Y = |2|·0,8367 = 1,673

Antwoord

σ_Y = 1,673

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 2·1 + 5 = 7.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,7054

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het totaal

μ_T = 125 kg, σ_T = 0,5·√5 = 1,118 kg

Standaardiseren

z = (125,6 − 125)/1,118 = 0,54

Kansrekening

P = Φ(0,54) = 0,7054

Antwoord

P = 0,7054

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 172,1 cm

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,2

z uit de tabel

z ≈ −0,84

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 178 − 0,84·7 = 172,1 cm

Antwoord

x = 172,1 cm

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 6,055 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Puntschatting

x̄₁ − x̄₂ = 64,5 − 49,5 = 15

Standaardfout

SE = √(14²/50 + 15²/40) = 3,089

Foutmarge

E = 1,96·3,089 = 6,055

Antwoord

E = 6,055 h

Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 3982

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n oplossen

n = 2,576²·0,6·0,4/0,02² = 3981

Naar boven afronden

n = 3982

Antwoord

n = 3982

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: p = 0,07493

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Toetsingsgrootheid

SE = σ/√n = 32/√64 = 4

z = (105,76 − 100)/4 = 1,44

Staartoppervlakte

Φ(1,44) = 0,9251

1 − Φ(1,44) = 0,0749

p-waarde

p = 0,07493

Antwoord

p = 0,07493

p > 0,05, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: 1 − β = 85,86 %

Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritiek steekproefgemiddelde

SE = 4/√64 = 0,5

x̄_c = 100 + 2,326·0,5 = 101,2

z onder het ware gemiddelde

z = (101,2 − 101,7)/0,5 = −1,074

Vermogen

onderscheidend vermogen = P(Z > −1,074) = 85,86%

1 − β = 85,86%

Antwoord

1 − β = 85,86%

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,9852

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 434/5 = 86,8

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 196

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 974,8

Determinatiecoëfficiënt

r² = 196²/(40·974,8) = 0,9852

Antwoord

r² = 0,9852

Ongeveer 98,52% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 3,6

Gemiddelden

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 490/5 = 98

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 336

Regressielijn

b = 336/90 = 3,733

a = 98 − 3,733·23 = 12,13

ŷ = 12,13 + 3,733·x

Voorspelde waarde

ŷ = 12,13 + 3,733·21,5 = 92,4

Residu

e = 96 − 92,4 = 3,6

Antwoord

e = 3,6

Het punt ligt boven de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1