Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 14, 15, 26, 50, 49, 37, 30.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 15. Bereken de z-score z van een score van 88.

μ = 100σ = 15x = 88

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,35, 0,3, 0,05

Var(X) =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 8 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,3. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 8p = 0,3

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,7673 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,7673

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 90% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 250 gσ = 5 g90%

x = g

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De bloeddruk van 13 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 3,8 en standaardafwijking 5,8. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 13d̄ = 3,8s_d = 5,895%t(12) = 2,179

ondergrens = mmHg

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De diameters van 30 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 5,8 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de ondergrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 29 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 16,047 en 2,5% boven 45,722.

n = 30s = 5,8 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

11 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is 2,71 en de standaardafwijking van de verschillen is 7,5. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μ_d = 0.

n = 11d̄ = 2,71s_d = 7,5

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets bij α = 0,01 moet een verschuiving van het gemiddelde van 5 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 90 %. De standaardafwijking is 19. Bereken de minimale steekproefomvang n.

α = 0,01onderscheidend vermogen = 90%δ = 5σ = 19z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 9?

n = 6ŷ = 9

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 14,66

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 221/7 = 31,57

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−17,57)² + (−16,57)² + (−5,571)² + 18,43² + 17,43² + 5,429² + (−1,571)² = 1290

Standaardafwijking

s = √(1290/6) = 14,66

Antwoord

s = 14,66

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = −0,8

Standaardiseren

z = (88 − 100)/15 = −0,8

Antwoord

z = −0,8

3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 79

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 10·0,3 + 20·0,35 + 30·0,3 + 40·0,05 = 21

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 100·0,3 + 400·0,35 + 900·0,3 + 1600·0,05 = 520

Variantie

Var(X) = 520 − 21² = 79

Antwoord

Var(X) = 79

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,2553

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,7⁸ = 0,05765

P(X = 1) = 8·0,3·0,7⁷ = 0,1977

Tel ze op

P = 0,05765 + 0,1977 = 0,2553

Antwoord

P = 0,2553

5.Normale verdeling

Antwoord: z = −0,73

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,7673 = 0,2327

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,2327 in de tabel en lees z af.

z = −0,73

Antwoord

z = −0,73

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 243,6 g

Oppervlak links

Φ(z) = 0,1

z uit de tabel

z ≈ −1,28

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 250 − 1,28·5 = 243,6 g

Antwoord

x = 243,6 g

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 0,2948 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 12, t = 2,179

Foutmarge

E = 2,179·5,8/√13 = 3,505

Interval

3,8 ± 3,505 → [0,2948, 7,305]

Antwoord

ondergrens = 0,2948 mmHg

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: σ = 4,619 µm

Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.

Kwadratensom

(n − 1)s² = 29·5,8² = 975,6

Grenzen voor σ²

975,6/45,722 = 21,34

975,6/16,047 = 60,79

Grens voor σ

σ = √21,34 = 4,619 µm

Antwoord

σ = 4,619 µm

95%-interval voor σ: [4,619, 7,797] µm.

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 1,198

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standaardfout van het gemiddelde verschil

SE = 7,5/√11 = 2,261

Toetsingsgrootheid

t = 2,71/2,261 = 1,198

Antwoord

t = 1,198

Bij df = 10 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,228; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 188

Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.

n oplossen

n = ((2,326 + 1,282)·19/5)² = 188

Naar boven afronden

n = 188

Antwoord

n = 188

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9707

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 268/5 = 53,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 84

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 187,2

Correlatiecoëfficiënt

r = 84/√(40·187,2) = 0,9707

Antwoord

r = 0,9707

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 5,644

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 97/6 = 16,17

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −58,5

Regressielijn

b = −58,5/17,5 = −3,343

a = 16,17 − (−3,343)·3,5 = 27,87

ŷ = 27,87 − 3,343·x

Los op naar x

x = (9 − 27,87)/(−3,343) = 5,644

Antwoord

x = 5,644

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1