Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 30, 42, 58, 35, 25, 27.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 8. Welk deel P van de waarden ligt boven 52?

μ = 60σ = 8x = 52

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

Var(X) =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 11 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,4. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 11p = 0,4

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,2434 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,2434

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 25% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 178 cmσ = 7 cm25%

x = cm

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De bloeddruk van 8 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde −1,6 en standaardafwijking 1,2. Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 8d̄ = −1,6s_d = 1,299%t(7) = 3,499

ondergrens = mmHg

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Over de fractie defecte producten is vooraf niets bekend. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,04 heeft?

p = 0,5E = 0,0490%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 500 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 12. Een aselecte steekproef van 64 waarnemingen heeft een gemiddelde van 503,21. Toets H₀: μ = 500 tegen H₁: μ ≠ 500. Bereken de p-waarde p.

μ₀ = 500σ = 12n = 64x̄ = 503,21H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 49 metingen heeft gemiddelde 47,4. De standaardafwijking van de populatie is 8. Bereken de ondergrens L van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 47,4σ = 8n = 4995%

L =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 105Σy = 411Σx² = 2295Σy² = 35693Σxy = 9039

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 51?

n = 6ŷ = 51

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 12,32

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 217/6 = 36,17

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−6,167)² + 5,833² + 21,83² + (−1,167)² + (−11,17)² + (−9,167)² = 758,8

Standaardafwijking

s = √(758,8/5) = 12,32

Antwoord

s = 12,32

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,8413

Standaardiseren

z = −1

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Antwoord

P = 0,8413

3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 0,6475

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

Variantie

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

Antwoord

Var(X) = 0,6475

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,03023

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,6¹¹ = 0,003628

P(X = 1) = 11·0,4·0,6¹⁰ = 0,02661

Tel ze op

P = 0,003628 + 0,02661 = 0,03023

Antwoord

P = 0,03023

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 0,31

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = (1 + 0,2434)/2 = 0,6217

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,6217 in de tabel en lees z af.

z = 0,31

Antwoord

z = 0,31

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 182,7 cm

Oppervlak links

Φ(z) = 0,75

z uit de tabel

z ≈ 0,67

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 178 + 0,67·7 = 182,7 cm

Antwoord

x = 182,7 cm

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = −3,084 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 7, t = 3,499

Foutmarge

E = 3,499·1,2/√8 = 1,484

Interval

−1,6 ± 1,484 → [−3,084, −0,1155]

Antwoord

ondergrens = −3,084 mmHg

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 423

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n oplossen

n = 1,645²·0,5·0,5/0,04² = 422,8

Naar boven afronden

n = 423

Antwoord

n = 423

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: p = 0,03235

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Toetsingsgrootheid

SE = σ/√n = 12/√64 = 1,5

z = (503,21 − 500)/1,5 = 2,14

Staartoppervlakte

Φ(2,14) = 0,9838

1 − Φ(2,14) = 0,0162

p-waarde

p = 2·0,0162 = 0,03235

Antwoord

p = 0,03235

p ≤ 0,05, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: L = 45,16

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Foutmarge

E = 1,96·8/√49 = 2,24

Intervalgrens

L = 47,4 − 2,24 = 45,16

Antwoord

L = 45,16

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9844

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 9039 − 105·411/5 = 408

S_xx = 2295 − 105²/5 = 90

S_yy = 35693 − 411²/5 = 1909

Correlatiecoëfficiënt

r = 408/√(90·1909) = 0,9844

Antwoord

r = 0,9844

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 4,826

Gemiddelden

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 297/6 = 49,5

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80,5

Regressielijn

b = 80,5/17,5 = 4,6

a = 49,5 − 4,6·4,5 = 28,8

ŷ = 28,8 + 4,6·x

Los op naar x

x = (51 − 28,8)/4,6 = 4,826

Antwoord

x = 4,826

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1