Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 60, 37, 19, 46, 28, 38.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 40. Bereken de z-score z van een score van 580.

μ = 500σ = 40x = 580

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,25, 0,3, 0,35

Var(X) =

4.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 11 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,25. Wat is de kans P op precies 1 goede antwoorden?

n = 11p = 0,25k = 1

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,4245 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,4245

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 5% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 500 hσ = 40 h5%

x = h

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 30 items heeft gemiddelde 15,5 en standaardafwijking s = 13,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 30x̄ = 15,5s = 13,599%t(29) = 2,756

ondergrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een vooronderzoek wijst erop dat ongeveer 0,15 van de producten defect is. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,02 heeft?

p ≈ 0,15E = 0,0290%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 25 studenten heeft een gemiddelde score van 115,8 en een steekproefstandaardafwijking van 15. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 115,8s = 15n = 25

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 25 metingen heeft gemiddelde 495,4. De standaardafwijking van de populatie is 10. Bereken de ondergrens L van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 495,4σ = 10n = 2590%

L =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (1,5, 24) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 6(1,5, 24)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 14,21

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 228/6 = 38

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 22² + (−1)² + (−19)² + 8² + (−10)² + 0² = 1010

Standaardafwijking

s = √(1010/5) = 14,21

Antwoord

s = 14,21

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 2

Standaardiseren

z = (580 − 500)/40 = 2

Antwoord

z = 2

3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 0,99

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 1·0,1 + 2·0,25 + 3·0,3 + 4·0,35 = 2,9

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,25 + 9·0,3 + 16·0,35 = 9,4

Variantie

Var(X) = 9,4 − 2,9² = 0,99

Antwoord

Var(X) = 0,99

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,1549

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binomiale formule

P(X = 1) = 11·0,25¹·0,75¹⁰ = 11·0,25·0,05631 = 0,1549

Antwoord

P = 0,1549

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 0,56

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = (1 + 0,4245)/2 = 0,7123

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,7123 in de tabel en lees z af.

z = 0,56

Antwoord

z = 0,56

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 434 h

Oppervlak links

Φ(z) = 0,05

z uit de tabel

z ≈ −1,64

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 500 − 1,64·40 = 434 h

Antwoord

x = 434 h

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 8,707

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 29, t = 2,756

Foutmarge

E = 2,756·13,5/√30 = 6,793

Interval

15,5 ± 6,793 → [8,707, 22,29]

Antwoord

ondergrens = 8,707

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 863

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n oplossen

n = 1,645²·0,15·0,85/0,02² = 862,5

Naar boven afronden

n = 863

Antwoord

n = 863

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −1,4

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 15/√25 = 15/5 = 3

Toetsingsgrootheid

t = (115,8 − 120)/3 = −1,4

Antwoord

t = −1,4

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: L = 492,1

Foutmarge

E = 1,645·10/√25 = 3,29

Intervalgrens

L = 495,4 − 3,29 = 492,1

Antwoord

L = 492,1

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = −0,9827

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 145/6 = 24,17

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 78,83

Correlatiecoëfficiënt

r = −36,5/√(17,5·78,83) = −0,9827

Antwoord

r = −0,9827

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = −3,314

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 144/6 = 24

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

Regressielijn

b = −29/17,5 = −1,657

a = 24 − (−1,657)·3,5 = 29,8

ŷ = 29,8 − 1,657·x

Voorspelde waarde

ŷ = 29,8 + (−1,657)·1,5 = 27,31

Residu

e = 24 − 27,31 = −3,314

Antwoord

e = −3,314

Het punt ligt onder de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1