Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 12, 44, 40, 22, 60.

n = 5

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt onder 200?

μ = 170σ = 20x = 200

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,25, 0,35, 0,1

σ =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 7 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,6. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 7p = 0,6

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Welk deel ligt tussen 246,25 en 260 g? Geef P als decimaal getal.

μ = 250σ = 5x₁ = 246,25x₂ = 260

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,03 mm en standaardafwijking 0,02 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,02 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.

gat: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De bloeddruk van 15 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 3,5 en standaardafwijking 3,6. Bereken de bovengrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 15d̄ = 3,5s_d = 3,695%t(14) = 2,145

bovengrens = mmHg

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 32. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 0,5 heeft?

σ = 32E = 0,599%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 80 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 12. Een aselecte steekproef van 144 waarnemingen heeft een gemiddelde van 78,5. Toets H₀: μ = 80 tegen H₁: μ < 80. Bereken de p-waarde p.

μ₀ = 80σ = 12n = 144x̄ = 78,5H₁: μ < μ₀

p =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 200 tegen H₁: μ < 200 wordt uitgevoerd bij α = 0.05 met een steekproef van 64; de standaardafwijking is bekend en is 12. In werkelijkheid is het gemiddelde 195.05. Bereken het onderscheidend vermogen 1 − β van de toets in procenten.

μ₀ = 200μ = 195,05σ = 12n = 64α = 0,05

1 − β = %

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 3,5.

n = 6x = 3,5

ŷ =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 18,89

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 178/5 = 35,6

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−23,6)² + 8,4² + 4,4² + (−13,6)² + 24,4² = 1427

Standaardafwijking

s = √(1427/4) = 18,89

Antwoord

s = 18,89

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,9332

Standaardiseren

z = 1,5

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Antwoord

P = 0,9332

3.Kansrekening

Antwoord: σ = 0,9937

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 1·0,3 + 2·0,25 + 3·0,35 + 4·0,1 = 2,25

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,25 + 9·0,35 + 16·0,1 = 6,05

Variantie

Var(X) = 6,05 − 2,25² = 0,9875

σ = √0,9875 = 0,9937

Antwoord

σ = 0,9937

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,01884

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,4⁷ = 0,001638

P(X = 1) = 7·0,6·0,4⁶ = 0,0172

Tel ze op

P = 0,001638 + 0,0172 = 0,01884

Antwoord

P = 0,01884

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,7506

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (246,25 − 250)/5 = −0,75

z₂ = (260 − 250)/5 = 2

Oppervlakte ertussen

P = Φ(2) − Φ(−0,75) = 0,9772 − 0,2266 = 0,7506

Antwoord

P = 0,7506

6.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,8554

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het verschil

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02828 mm

Standaardiseren

z = (0 − 0,03)/0,02828 = −1,06

Kansrekening

P = 1 − Φ(−1,06) = 0,8554

Antwoord

P = 0,8554

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 5,494 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 14, t = 2,145

Foutmarge

E = 2,145·3,6/√15 = 1,994

Interval

3,5 ± 1,994 → [1,506, 5,494]

Antwoord

bovengrens = 5,494 mmHg

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 27181

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (2,576·32/0,5)² = 27180

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 27181

Antwoord

n = 27181

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: p = 0,06681

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Toetsingsgrootheid

SE = σ/√n = 12/√144 = 1

z = (78,5 − 80)/1 = −1,5

Staartoppervlakte

Φ(1,5) = 0,9332

1 − Φ(1,5) = 0,0668

p-waarde

p = 0,06681

Antwoord

p = 0,06681

p > 0,05, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: 1 − β = 95,1 %

Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritiek steekproefgemiddelde

SE = 12/√64 = 1,5

x̄_c = 200 − 1,645·1,5 = 197,5

z onder het ware gemiddelde

z = (197,5 − 195,05)/1,5 = 1,655

Vermogen

onderscheidend vermogen = P(Z < 1.655) = 95.1%

1 − β = 95,1%

Antwoord

1 − β = 95,1%

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9721

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 359/6 = 59,83

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 117,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 834,8

Correlatiecoëfficiënt

r = 117,5/√(17,5·834,8) = 0,9721

Antwoord

r = 0,9721

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 30,89

Gemiddelden

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 233/6 = 38,83

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 69,5

Regressielijn

b = 69,5/17,5 = 3,971

a = 38,83 − 3,971·5,5 = 16,99

ŷ = 16,99 + 3,971·x

Voorspelling

ŷ = 16,99 + 3,971·3,5 = 30,89

Antwoord

ŷ = 30,89

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1