Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 18, 24, 28, 13, 10.

n = 5

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 5. Bereken de z-score z van een score van 60.

μ = 50σ = 5x = 60

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,05, 0,35, 0,35

σ =

4.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 10X + 10. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,25, 0,15, 0,35, 0,05Y = 10X + 10

σ_Y =

5.Normale verdelingGemiddeld

De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Welk deel ligt tussen 20 en 33,5 min? Geef P als decimaal getal.

μ = 32σ = 6x₁ = 20x₂ = 33,5

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Bereken de waarde x waaronder 95% ervan ligt (het 95e percentiel).

μ = 178σ = 7P = 95%

x = cm

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 8 items heeft gemiddelde 57,5 en standaardafwijking s = 11. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 8x̄ = 57,5s = 1199%t(7) = 3,499

E =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Over de fractie defecte producten is vooraf niets bekend. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,04 heeft?

p = 0,5E = 0,0490%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 120 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 10. Een aselecte steekproef van 25 waarnemingen heeft een gemiddelde van 115,16. Toets H₀: μ = 120 tegen H₁: μ < 120. Bereken de p-waarde p.

μ₀ = 120σ = 10n = 25x̄ = 115,16H₁: μ < μ₀

p =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

In een onderzoek herstellen 60 van de 100 patiënten met behandeling A en 113 van de 150 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 60n₁ = 100x₂ = 113n₂ = 150

z =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 4,5.

n = 5x = 4,5

ŷ =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 7,47

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 93/5 = 18,6

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−0,6)² + 5,4² + 9,4² + (−5,6)² + (−8,6)² = 223,2

Standaardafwijking

s = √(223,2/4) = 7,47

Antwoord

s = 7,47

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 2

Standaardiseren

z = (60 − 50)/5 = 2

Antwoord

z = 2

3.Kansrekening

Antwoord: σ = 11,66

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 10·0,25 + 20·0,05 + 30·0,35 + 40·0,35 = 28

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 100·0,25 + 400·0,05 + 900·0,35 + 1600·0,35 = 920

Variantie

Var(X) = 920 − 28² = 136

σ = √136 = 11,66

Antwoord

σ = 11,66

4.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 12,49

Spreiding van X

μ = 2,8, Var(X) = 1,56, σ_X = 1,249

Lineaire transformatie

σ_Y = |10|·1,249 = 12,49

Antwoord

σ_Y = 12,49

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 10·2,8 + 10 = 38.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,576

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (20 − 32)/6 = −2

z₂ = (33,5 − 32)/6 = 0,25

Oppervlakte ertussen

P = Φ(0,25) − Φ(−2) = 0,5987 − 0,02275 = 0,576

Antwoord

P = 0,576

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 189,5 cm

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Terug naar x

x = 178 + 1,645·7 = 189,51 cm

Antwoord

x = 189,51 cm

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 13,61

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 7, t = 3,499

Foutmarge

E = 3,499·11/√8 = 13,61

Antwoord

E = 13,61

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 423

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n oplossen

n = 1,645²·0,5·0,5/0,04² = 422,8

Naar boven afronden

n = 423

Antwoord

n = 423

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: p = 0,00776

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Toetsingsgrootheid

SE = σ/√n = 10/√25 = 2

z = (115,16 − 120)/2 = −2,42

Staartoppervlakte

Φ(2,42) = 0,9922

1 − Φ(2,42) = 0,0078

p-waarde

p = 0,00776

Antwoord

p = 0,00776

p ≤ 0,05, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = −2,573

Steekproeffracties

p̂₁ = 60/100 = 0,6

p̂₂ = 113/150 = 0,7533

p̂ = 173/250 = 0,692

Standaardfout onder H₀

SE = √(0,692·0,308·(1/100 + 1/150)) = 0,0596

Toetsingsgrootheid

z = (0,6 − 0,7533)/0,0596 = −2,573

Antwoord

z = −2,573

|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9934

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 336/5 = 67,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 228

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1317

Correlatiecoëfficiënt

r = 228/√(40·1317) = 0,9934

Antwoord

r = 0,9934

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 37

Gemiddelden

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 180/5 = 36

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 20

Regressielijn

b = 20/10 = 2

a = 36 − 2·4 = 28

ŷ = 28 + 2·x

Voorspelling

ŷ = 28 + 2·4,5 = 37

Antwoord

ŷ = 37

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1