Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 51, 48, 43, 20, 45, 28, 12.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 8. Welk deel P van de waarden ligt boven 68?

μ = 60σ = 8x = 68

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 5 personen kiezen uit een groep van 13? De volgorde doet er niet toe.

n = 13k = 5

N =

4.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 10X − 3. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,25, 0,15, 0,25Y = 10X − 3

σ_Y =

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,3688 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,3688

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Bereken de waarde x waaronder 80% ervan ligt (het 80e percentiel).

μ = 178σ = 7P = 80%

x = cm

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 7 items heeft gemiddelde 60 en standaardafwijking s = 7. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 7x̄ = 60s = 795%t(6) = 2,447

ondergrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 21. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft?

σ = 21E = 395%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 30 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 146 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 3 mm. Lijn 2: een steekproef van 100 onderdelen heeft gemiddelde 145,3 mm, bekende standaardafwijking 8 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).

n₁ = 30x̄₁ = 146 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 100x̄₂ = 145,3 mmσ₂ = 8 mm

z =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

In een onderzoek herstellen 55 van de 100 patiënten met behandeling A en 76 van de 120 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 55n₁ = 100x₂ = 76n₂ = 120

z =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 6.

n = 6x = 6

ŷ =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 15,23

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 247/7 = 35,29

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 15,71² + 12,71² + 7,714² + (−15,29)² + 9,714² + (−7,286)² + (−23,29)² = 1391

Standaardafwijking

s = √(1391/6) = 15,23

Antwoord

s = 15,23

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,1587

Standaardiseren

z = 1

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Antwoord

P = 0,1587

3.Kansrekening

Antwoord: N = 1287

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(13, 5) = (13·12·11·10·9)/(5·4·3·2·1) = 1287

Antwoord

N = 1287

4.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 118,7

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Spreiding van X

μ = 23, Var(X) = 141, σ_X = 11,87

Lineaire transformatie

σ_Y = |10|·11,87 = 118,7

Antwoord

σ_Y = 118,7

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 10·23 − 3 = 227.

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 0,48

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = (1 + 0,3688)/2 = 0,6844

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,6844 in de tabel en lees z af.

z = 0,48

Antwoord

z = 0,48

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 183,9 cm

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Terug naar x

x = 178 + 0,8416·7 = 183,89 cm

Antwoord

x = 183,89 cm

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 53,53

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 6, t = 2,447

Foutmarge

E = 2,447·7/√7 = 6,474

Interval

60 ± 6,474 → [53,53, 66,47]

Antwoord

ondergrens = 53,53

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 189

n oplossen

n = (1,96·21/3)² = 188,2

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 189

Antwoord

n = 189

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = 0,722

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standaardfout van het verschil

SE = √(3²/30 + 8²/100) = √0,94 = 0,9695

Toetsingsgrootheid

z = (146 − 145,3)/0,9695 = 0,722

Antwoord

z = 0,722

|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = −1,254

Steekproeffracties

p̂₁ = 55/100 = 0,55

p̂₂ = 76/120 = 0,6333

p̂ = 131/220 = 0,5955

Standaardfout onder H₀

SE = √(0,5955·0,4045·(1/100 + 1/120)) = 0,06646

Toetsingsgrootheid

z = (0,55 − 0,6333)/0,06646 = −1,254

Antwoord

z = −1,254

|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9832

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 297/6 = 49,5

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 113,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 761,5

Correlatiecoëfficiënt

r = 113,5/√(17,5·761,5) = 0,9832

Antwoord

r = 0,9832

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 77,5

Gemiddelden

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 465/6 = 77,5

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 483

Regressielijn

b = 483/70 = 6,9

a = 77,5 − 6,9·6 = 36,1

ŷ = 36,1 + 6,9·x

Voorspelling

ŷ = 36,1 + 6,9·6 = 77,5

Antwoord

ŷ = 77,5

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1