Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 41, 57, 23, 14, 24, 24.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 10. Bereken de z-score z van een score van 110.

μ = 100σ = 10x = 110

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 2 personen kiezen uit een groep van 12? De volgorde doet er niet toe.

n = 12k = 2

N =

4.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 3X + 10. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = 3X + 10

σ_Y =

5.Normale verdelingGemiddeld

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Welk deel ligt tussen 167,15 en 186,4 cm? Geef P als decimaal getal.

μ = 178σ = 7x₁ = 167,15x₂ = 186,4

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Bereken de waarde x waaronder 80% ervan ligt (het 80e percentiel).

μ = 250σ = 5P = 80%

x = g

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 13 items heeft gemiddelde 36,5 en standaardafwijking s = 7,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 13x̄ = 36,5s = 7,590%t(12) = 1,782

bovengrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 6. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft?

σ = 6E = 199%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

13 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is −3,79 en de standaardafwijking van de verschillen is 9,1. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μ_d = 0.

n = 13d̄ = −3,79s_d = 9,1

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 49 metingen heeft gemiddelde 102,6. De standaardafwijking van de populatie is 12. Bereken de ondergrens L van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 102,6σ = 12n = 4999%

L =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 30Σy = 92Σx² = 220Σy² = 1872Σxy = 636

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (24, 85) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(24, 85)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 15,66

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 183/6 = 30,5

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 10,5² + 26,5² + (−7,5)² + (−16,5)² + (−6,5)² + (−6,5)² = 1226

Standaardafwijking

s = √(1226/5) = 15,66

Antwoord

s = 15,66

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 1

Standaardiseren

z = (110 − 100)/10 = 1

Antwoord

z = 1

3.Kansrekening

Antwoord: N = 66

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(12, 2) = (12·11)/(2·1) = 66

Antwoord

N = 66

4.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 2,414

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Spreiding van X

μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Lineaire transformatie

σ_Y = |3|·0,8047 = 2,414

Antwoord

σ_Y = 2,414

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 3·0,95 + 10 = 12,85.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,8244

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (167,15 − 178)/7 = −1,55

z₂ = (186,4 − 178)/7 = 1,2

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1,2) − Φ(−1,55) = 0,8849 − 0,06057 = 0,8244

Antwoord

P = 0,8244

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 254,2 g

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Terug naar x

x = 250 + 0,8416·5 = 254,21 g

Antwoord

x = 254,21 g

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 40,21

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 12, t = 1,782

Foutmarge

E = 1,782·7,5/√13 = 3,707

Interval

36,5 ± 3,707 → [32,79, 40,21]

Antwoord

bovengrens = 40,21

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 239

n oplossen

n = (2,576·6/1)² = 238,9

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 239

Antwoord

n = 239

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −1,502

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standaardfout van het gemiddelde verschil

SE = 9,1/√13 = 2,524

Toetsingsgrootheid

t = −3,79/2,524 = −1,502

Antwoord

t = −1,502

Bij df = 12 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,179; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: L = 98,18

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Foutmarge

E = 2,576·12/√49 = 4,416

Intervalgrens

L = 102,6 − 4,416 = 98,18

Antwoord

L = 98,18

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9922

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 636 − 30·92/5 = 84

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 1872 − 92²/5 = 179,2

Correlatiecoëfficiënt

r = 84/√(40·179,2) = 0,9922

Antwoord

r = 0,9922

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 4,7

Gemiddelden

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 358/5 = 71,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116

Regressielijn

b = 116/40 = 2,9

a = 71,6 − 2,9·21 = 10,7

ŷ = 10,7 + 2,9·x

Voorspelde waarde

ŷ = 10,7 + 2,9·24 = 80,3

Residu

e = 85 − 80,3 = 4,7

Antwoord

e = 4,7

Het punt ligt boven de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1