Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 18, 31, 59, 15, 23, 44, 25.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 75. Welk deel P van de waarden ligt boven 650?

μ = 500σ = 75x = 650

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,3, 0,25, 0,2

Var(X) =

4.KansrekeningMoeilijk

Een spel kost €3 inzet. Je wint €6 met kans 0,25 en €60 met kans 0,05; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €3€6: p = 0,25€60: p = 0,05

E(G) = €

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,1587 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,1587

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,03 mm en standaardafwijking 0,01 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,01 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.

gat: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 6 items heeft gemiddelde 75 en standaardafwijking s = 14,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 6x̄ = 75s = 14,595%t(5) = 2,571

bovengrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Over de fractie defecte producten is vooraf niets bekend. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,025 heeft?

p = 0,5E = 0,02590%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 11 studenten, gemiddelde score 39, standaardafwijking 11. Groep 2: 15 studenten, gemiddelde score 47,9, standaardafwijking 6,5. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).

n₁ = 11x̄₁ = 39s₁ = 11n₂ = 15x̄₂ = 47,9s₂ = 6,5

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

In een onderzoek herstellen 70 van de 100 patiënten met behandeling A en 130 van de 200 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 70n₁ = 100x₂ = 130n₂ = 200

z =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (21, 56) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 6(21, 56)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 15,69

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 215/7 = 30,71

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−12,71)² + 0,2857² + 28,29² + (−15,71)² + (−7,714)² + 13,29² + (−5,714)² = 1477

Standaardafwijking

s = √(1477/6) = 15,69

Antwoord

s = 15,69

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,02275

Standaardiseren

z = 2

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Antwoord

P = 0,02275

3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 1,14

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,25 + 1·0,3 + 2·0,25 + 3·0,2 = 1,4

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,3 + 4·0,25 + 9·0,2 = 3,1

Variantie

Var(X) = 3,1 − 1,4² = 1,14

Antwoord

Var(X) = 1,14

4.Kansrekening

Antwoord: E(G) = 1,5 €

Netto-uitkomsten

G: 3 (p = 0,25), 57 (p = 0,05), −3 (p = 0,7)

Verwachtingswaarde

E(G) = 3·0,25 + 57·0,05 − 3·0,7 = 1,5 €

Antwoord

E(G) = 1,5 €

Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 1

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,8413 in de tabel en lees z af.

z = 1,00

Antwoord

z = 1,00

6.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,983

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het verschil

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01414 mm

Standaardiseren

z = (0 − 0,03)/0,01414 = −2,12

Kansrekening

P = 1 − Φ(−2,12) = 0,983

Antwoord

P = 0,983

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 90,22

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 5, t = 2,571

Foutmarge

E = 2,571·14,5/√6 = 15,22

Interval

75 ± 15,22 → [59,78, 90,22]

Antwoord

bovengrens = 90,22

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 1083

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n oplossen

n = 1,645²·0,5·0,5/0,025² = 1082

Naar boven afronden

n = 1083

Antwoord

n = 1083

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −2,588

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Gepoolde variantie

s_p² = (10·11² + 14·6,5²)/24 = 75,06

s_p = 8,664

Standaardfout

SE = 8,664·√(1/11 + 1/15) = 3,439

Toetsingsgrootheid

t = (39 − 47,9)/3,439 = −2,588

Antwoord

t = −2,588

Bij df = 24 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,064; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = 0,866

Steekproeffracties

p̂₁ = 70/100 = 0,7

p̂₂ = 130/200 = 0,65

p̂ = 200/300 = 0,6667

Standaardfout onder H₀

SE = √(0,6667·0,3333·(1/100 + 1/200)) = 0,05774

Toetsingsgrootheid

z = (0,7 − 0,65)/0,05774 = 0,866

Antwoord

z = 0,866

|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9984

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 180/6 = 30

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 274

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1076

Correlatiecoëfficiënt

r = 274/√(70·1076) = 0,9984

Antwoord

r = 0,9984

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = −4,181

Gemiddelden

x̄ = 114/6 = 19

ȳ = 310/6 = 51,67

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 298

Regressielijn

b = 298/70 = 4,257

a = 51,67 − 4,257·19 = −29,22

ŷ = −29,22 + 4,257·x

Voorspelde waarde

ŷ = −29,22 + 4,257·21 = 60,18

Residu

e = 56 − 60,18 = −4,181

Antwoord

e = −4,181

Het punt ligt onder de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1