Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 33, 23, 39, 36, 32.

n = 5

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 10. Bereken de z-score z van een score van 76.

μ = 70σ = 10x = 76

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

σ =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 6 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,5. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 6p = 0,5

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

De massa's van passagiers met bagage zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 85 kg en standaardafwijking 12 kg. Bepaal de kans P dat de totale massa van 4 ervan groter is dan 352 kg. Rond z af op twee decimalen.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 4> 352 kg

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 90% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 65 puntenσ = 10 punten90%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 12 items heeft gemiddelde 52,5 en standaardafwijking s = 11. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 12x̄ = 52,5s = 1190%t(11) = 1,796

bovengrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 25. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft?

σ = 25E = 399%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 64 studenten heeft een gemiddelde score van 196,6 en een steekproefstandaardafwijking van 15. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 196,6s = 15n = 64

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets bij α = 0,05 moet een verschuiving van het gemiddelde van 1 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 80 %. De standaardafwijking is 11. Bereken de minimale steekproefomvang n.

α = 0,05onderscheidend vermogen = 80%δ = 1σ = 11z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 5

r² =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (4,5, 17) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 6(4,5, 17)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 6,025

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 163/5 = 32,6

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 0,4² + (−9,6)² + 6,4² + 3,4² + (−0,6)² = 145,2

Standaardafwijking

s = √(145,2/4) = 6,025

Antwoord

s = 6,025

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 0,6

Standaardiseren

z = (76 − 70)/10 = 0,6

Antwoord

z = 0,6

3.Kansrekening

Antwoord: σ = 0,8047

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Variantie

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

Antwoord

σ = 0,8047

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,1094

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,5⁶ = 0,01563

P(X = 1) = 6·0,5·0,5⁵ = 0,09375

Tel ze op

P = 0,01563 + 0,09375 = 0,1094

Antwoord

P = 0,1094

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,3085

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het totaal

μ_T = 340 kg, σ_T = 12·√4 = 24 kg

Standaardiseren

z = (352 − 340)/24 = 0,5

Kansrekening

P = 1 − Φ(0,5) = 0,3085

Antwoord

P = 0,3085

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 52,2 punten

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,1

z uit de tabel

z ≈ −1,28

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 65 − 1,28·10 = 52,2 punten

Antwoord

x = 52,2 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 58,2

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 11, t = 1,796

Foutmarge

E = 1,796·11/√12 = 5,703

Interval

52,5 ± 5,703 → [46,8, 58,2]

Antwoord

bovengrens = 58,2

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 461

n oplossen

n = (2,576·25/3)² = 460,8

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 461

Antwoord

n = 461

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −1,813

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

Toetsingsgrootheid

t = (196,6 − 200)/1,875 = −1,813

Antwoord

t = −1,813

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 749

Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.

n oplossen

n = ((1,645 + 0,842)·11/1)² = 748,4

Naar boven afronden

n = 749

Antwoord

n = 749

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,6207

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 108/5 = 21,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −12

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 23,2

Determinatiecoëfficiënt

r² = −12²/(10·23,2) = 0,6207

Antwoord

r² = 0,6207

Ongeveer 62,07% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 2,7

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 99/6 = 16,5

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −38,5

Regressielijn

b = −38,5/17,5 = −2,2

a = 16,5 − (−2,2)·3,5 = 24,2

ŷ = 24,2 − 2,2·x

Voorspelde waarde

ŷ = 24,2 + (−2,2)·4,5 = 14,3

Residu

e = 17 − 14,3 = 2,7

Antwoord

e = 2,7

Het punt ligt boven de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1