Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 53, 11, 23, 51, 54, 22, 19.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 25. Bereken de z-score z van een score van 487,5.

μ = 500σ = 25x = 487,5

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,15, 0,25, 0,35

σ =

4.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 6 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,2. Wat is de kans P op precies 5 goede antwoorden?

n = 6p = 0,2k = 5

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Welk deel ligt tussen 248,75 en 256,25 g? Geef P als decimaal getal.

μ = 250σ = 5x₁ = 248,75x₂ = 256,25

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 95% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 65 puntenσ = 10 punten95%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 9 items heeft gemiddelde 117 en standaardafwijking s = 1,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 9x̄ = 117s = 1,599%t(8) = 3,355

ondergrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 5 proefvelden, gemiddelde opbrengst 25 kg, standaardafwijking 9,5 kg. Groep 2: 11 proefvelden, gemiddelde 19 kg, standaardafwijking 9 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de bovengrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 25s₁ = 9,5n₂ = 11x̄₂ = 19s₂ = 999%t(14) = 2,977

bovengrens = kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 16 studenten heeft een gemiddelde score van 46,4 en een steekproefstandaardafwijking van 8. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 46,4s = 8n = 16

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 80 tegen H₁: μ > 80 wordt uitgevoerd bij α = 0,01 met een steekproef van 25; de standaardafwijking is bekend en is 12,5. In werkelijkheid is het gemiddelde 88,5. Bereken de kans op een fout van de tweede soort β in procenten.

μ₀ = 80μ = 88,5σ = 12,5n = 25α = 0,01

β = %

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 5

r² =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (3,5, 24) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 6(3,5, 24)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 18,55

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 233/7 = 33,29

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 19,71² + (−22,29)² + (−10,29)² + 17,71² + 20,71² + (−11,29)² + (−14,29)² = 2065

Standaardafwijking

s = √(2065/6) = 18,55

Antwoord

s = 18,55

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = −0,5

Standaardiseren

z = (487,5 − 500)/25 = −0,5

Antwoord

z = −0,5

3.Kansrekening

Antwoord: σ = 1,187

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,25 + 1·0,15 + 2·0,25 + 3·0,35 = 1,7

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,15 + 4·0,25 + 9·0,35 = 4,3

Variantie

Var(X) = 4,3 − 1,7² = 1,41

σ = √1,41 = 1,187

Antwoord

σ = 1,187

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,001536

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binomiale formule

P(X = 5) = 6·0,2⁵·0,8¹ = 6·0,00032·0,8 = 0,001536

Antwoord

P = 0,001536

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,4931

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (248,75 − 250)/5 = −0,25

z₂ = (256,25 − 250)/5 = 1,25

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1,25) − Φ(−0,25) = 0,8944 − 0,4013 = 0,4931

Antwoord

P = 0,4931

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 48,6 punten

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,05

z uit de tabel

z ≈ −1,64

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 65 − 1,64·10 = 48,6 punten

Antwoord

x = 48,6 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 115,3

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 8, t = 3,355

Foutmarge

E = 3,355·1,5/√9 = 1,677

Interval

117 ± 1,677 → [115,3, 118,7]

Antwoord

ondergrens = 115,3

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 20,68 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (4·9,5² + 10·9²)/14 = 83,64

s_p = 9,146

Foutmarge

E = 2,977·9,146·√(1/5 + 1/11) = 14,68

Interval

6 ± 14,68 → [−8,685, 20,68]

Antwoord

bovengrens = 20,68 kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −1,8

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 8/√16 = 8/4 = 2

Toetsingsgrootheid

t = (46,4 − 50)/2 = −1,8

Antwoord

t = −1,8

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: β = 14,14 %

Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritiek steekproefgemiddelde

SE = 12,5/√25 = 2,5

x̄_c = 80 + 2,326·2,5 = 85,81

z onder het ware gemiddelde

z = (85,81 − 88,5)/2,5 = −1,074

Fout van de tweede soort

onderscheidend vermogen = P(Z > −1,074) = 85,86%

β = 100% − 85,86% = 14,14%

Antwoord

β = 14,14%

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,957

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 69/5 = 13,8

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 68

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 120,8

Determinatiecoëfficiënt

r² = 68²/(40·120,8) = 0,957

Antwoord

r² = 0,957

Ongeveer 95,7% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 3

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 126/6 = 21

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27

Regressielijn

b = −27/17,5 = −1,543

a = 21 − (−1,543)·3,5 = 26,4

ŷ = 26,4 − 1,543·x

Voorspelde waarde

ŷ = 26,4 + (−1,543)·3,5 = 21

Residu

e = 24 − 21 = 3

Antwoord

e = 3

Het punt ligt boven de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1