Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 35, 39, 44, 48, 59, 17.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 10. Bereken de z-score z van een score van 85.

μ = 70σ = 10x = 85

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Er wordt 6 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?

n = 6

P =

4.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 9 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,5. Wat is de kans P op precies 3 goede antwoorden?

n = 9p = 0,5k = 3

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Welk deel ligt tussen 244 en 257,5 g? Geef P als decimaal getal.

μ = 250σ = 5x₁ = 244x₂ = 257,5

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Bereken de waarde x waaronder 25% ervan ligt (het 25e percentiel).

μ = 65σ = 10P = 25%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 11 items heeft gemiddelde 78 en standaardafwijking s = 15,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 11x̄ = 78s = 15,595%t(10) = 2,228

ondergrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 9. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2,5 heeft?

σ = 9E = 2,590%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 100 studenten heeft een gemiddelde score van 501,4 en een steekproefstandaardafwijking van 8. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 501,4s = 8n = 100

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 81 metingen heeft gemiddelde 201,9. De standaardafwijking van de populatie is 10. Bereken de bovengrens U van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 201,9σ = 10n = 8199%

U =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 2,5.

n = 5x = 2,5

ŷ =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 14,11

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 242/6 = 40,33

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−5,333)² + (−1,333)² + 3,667² + 7,667² + 18,67² + (−23,33)² = 995,3

Standaardafwijking

s = √(995,3/5) = 14,11

Antwoord

s = 14,11

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 1,5

Standaardiseren

z = (85 − 70)/10 = 1,5

Antwoord

z = 1,5

3.Kansrekening

Antwoord: P = 0,6651

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complement

P(geen zes) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Antwoord

P = 0,6651

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,1641

Binomiale formule

P(X = 3) = 84·0,5³·0,5⁶ = 84·0,125·0,01563 = 0,1641

Antwoord

P = 0,1641

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,8181

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (244 − 250)/5 = −1,2

z₂ = (257,5 − 250)/5 = 1,5

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1,5) − Φ(−1,2) = 0,9332 − 0,1151 = 0,8181

Antwoord

P = 0,8181

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 58,26 punten

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Terug naar x

x = 65 + −0,6745·10 = 58,26 punten

Antwoord

x = 58,26 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 67,59

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 10, t = 2,228

Foutmarge

E = 2,228·15,5/√11 = 10,41

Interval

78 ± 10,41 → [67,59, 88,41]

Antwoord

ondergrens = 67,59

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 36

n oplossen

n = (1,645·9/2,5)² = 35,07

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 36

Antwoord

n = 36

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 1,75

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8

Toetsingsgrootheid

t = (501,4 − 500)/0,8 = 1,75

Antwoord

t = 1,75

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: U = 204,8

Foutmarge

E = 2,576·10/√81 = 2,862

Intervalgrens

U = 201,9 + 2,862 = 204,8

Antwoord

U = 204,8

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9628

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 453/5 = 90,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 166

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 743,2

Correlatiecoëfficiënt

r = 166/√(40·743,2) = 0,9628

Antwoord

r = 0,9628

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 19,1

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 88/5 = 17,6

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30

Regressielijn

b = −30/10 = −3

a = 17,6 − (−3)·3 = 26,6

ŷ = 26,6 − 3·x

Voorspelling

ŷ = 26,6 + (−3)·2,5 = 19,1

Antwoord

ŷ = 19,1

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1