Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 37, 25, 51, 35, 20, 19, 24.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 20. Bereken de z-score z van een score van 68.

μ = 60σ = 20x = 68

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,25, 0,2, 0,35

σ =

4.KansrekeningMoeilijk

Een spel kost €5 inzet. Je wint €25 met kans 0,2 en €100 met kans 0,02; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €5€25: p = 0,2€100: p = 0,02

E(G) = €

5.Normale verdelingGemiddeld

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Welk deel ligt tussen 178 en 181,85 cm? Geef P als decimaal getal.

μ = 178σ = 7x₁ = 178x₂ = 181,85

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 5% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 250 gσ = 5 g5%

x = g

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 25 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 9,2. Wat is de foutmarge E₂ als hetzelfde onderzoek in plaats daarvan 50 waarnemingen gebruikt?

90%n₁ = 25E₁ = 9,2n₂ = 50

E₂ =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 34. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2 heeft?

σ = 34E = 295%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 100 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 118,5 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 8 mm. Lijn 2: een steekproef van 60 onderdelen heeft gemiddelde 115,3 mm, bekende standaardafwijking 14 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).

n₁ = 100x̄₁ = 118,5 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 60x̄₂ = 115,3 mmσ₂ = 14 mm

z =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

In een onderzoek herstellen 72 van de 120 patiënten met behandeling A en 130 van de 250 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 72n₁ = 120x₂ = 130n₂ = 250

z =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (9, 17) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 6(9, 17)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 11,52

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 211/7 = 30,14

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 6,857² + (−5,143)² + 20,86² + 4,857² + (−10,14)² + (−11,14)² + (−6,143)² = 796,9

Standaardafwijking

s = √(796,9/6) = 11,52

Antwoord

s = 11,52

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 0,4

Standaardiseren

z = (68 − 60)/20 = 0,4

Antwoord

z = 0,4

3.Kansrekening

Antwoord: σ = 1,145

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,2 + 1·0,25 + 2·0,2 + 3·0,35 = 1,7

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,25 + 4·0,2 + 9·0,35 = 4,2

Variantie

Var(X) = 4,2 − 1,7² = 1,31

σ = √1,31 = 1,145

Antwoord

σ = 1,145

4.Kansrekening

Antwoord: E(G) = 2 €

Netto-uitkomsten

G: 20 (p = 0,2), 95 (p = 0,02), −5 (p = 0,78)

Verwachtingswaarde

E(G) = 20·0,2 + 95·0,02 − 5·0,78 = 2 €

Antwoord

E(G) = 2 €

Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,2088

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (178 − 178)/7 = 0

z₂ = (181,85 − 178)/7 = 0,55

Oppervlakte ertussen

P = Φ(0,55) − Φ(0) = 0,7088 − 0,5 = 0,2088

Antwoord

P = 0,2088

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 258,2 g

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,95

z uit de tabel

z ≈ 1,64

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 250 + 1,64·5 = 258,2 g

Antwoord

x = 258,2 g

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E₂ = 6,505

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Verhouding van de marges

E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(25/50) = 0,7071

Nieuwe marge

E₂ = 9,2·0,7071 = 6,505

Antwoord

E₂ = 6,505

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 1111

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (1,96·34/2)² = 1110

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 1111

Antwoord

n = 1111

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = 1,619

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standaardfout van het verschil

SE = √(8²/100 + 14²/60) = √3,907 = 1,977

Toetsingsgrootheid

z = (118,5 − 115,3)/1,977 = 1,619

Antwoord

z = 1,619

|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = 1,447

Steekproeffracties

p̂₁ = 72/120 = 0,6

p̂₂ = 130/250 = 0,52

p̂ = 202/370 = 0,5459

Standaardfout onder H₀

SE = √(0,5459·0,4541·(1/120 + 1/250)) = 0,05529

Toetsingsgrootheid

z = (0,6 − 0,52)/0,05529 = 1,447

Antwoord

z = 1,447

|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9109

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 200/6 = 33,33

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 43

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 127,3

Correlatiecoëfficiënt

r = 43/√(17,5·127,3) = 0,9109

Antwoord

r = 0,9109

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 2,857

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 66/6 = 11

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 110

Regressielijn

b = 110/70 = 1,571

a = 11 − 1,571·7 = 0

ŷ = 0 + 1,571·x

Voorspelde waarde

ŷ = 0 + 1,571·9 = 14,14

Residu

e = 17 − 14,14 = 2,857

Antwoord

e = 2,857

Het punt ligt boven de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1