Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 37, 43, 14, 41, 12, 56.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 20. Bereken de z-score z van een score van 50.

μ = 70σ = 20x = 50

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

Var(X) =

4.KansrekeningMoeilijk

Een spel kost €10 inzet. Je wint €40 met kans 0,1 en €500 met kans 0,02; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €10€40: p = 0,1€500: p = 0,02

E(G) = €

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,6319 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,6319

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 60% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 250 gσ = 5 g60%

x = g

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 20 items heeft gemiddelde 117,5 en standaardafwijking s = 15. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 20x̄ = 117,5s = 1590%t(19) = 1,729

bovengrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 19. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft?

σ = 19E = 399%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 7 studenten, gemiddelde score 80, standaardafwijking 2,5. Groep 2: 5 studenten, gemiddelde score 82,2, standaardafwijking 4. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).

n₁ = 7x̄₁ = 80s₁ = 2,5n₂ = 5x̄₂ = 82,2s₂ = 4

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 200 tegen H₁: μ < 200 wordt uitgevoerd bij α = 0.01 met een steekproef van 25; de standaardafwijking is bekend en is 15. In werkelijkheid is het gemiddelde 189.5. Bereken de kans op een fout van de tweede soort β in procenten.

μ₀ = 200μ = 189,5σ = 15n = 25α = 0,01

β = %

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 6

r² =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (3,5, 39) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 6(3,5, 39)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 17,36

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 203/6 = 33,83

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 3,167² + 9,167² + (−19,83)² + 7,167² + (−21,83)² + 22,17² = 1507

Standaardafwijking

s = √(1507/5) = 17,36

Antwoord

s = 17,36

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = −1

Standaardiseren

z = (50 − 70)/20 = −1

Antwoord

z = −1

3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 0,7

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Variantie

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

Antwoord

Var(X) = 0,7

4.Kansrekening

Antwoord: E(G) = 4 €

Netto-uitkomsten

G: 30 (p = 0,1), 490 (p = 0,02), −10 (p = 0,88)

Verwachtingswaarde

E(G) = 30·0,1 + 490·0,02 − 10·0,88 = 4 €

Antwoord

E(G) = 4 €

Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 0,9

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = (1 + 0,6319)/2 = 0,8159

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,8159 in de tabel en lees z af.

z = 0,90

Antwoord

z = 0,90

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 251,3 g

Oppervlak links

Φ(z) = 0,6

z uit de tabel

z ≈ 0,25

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 250 + 0,25·5 = 251,3 g

Antwoord

x = 251,3 g

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 123,3

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 19, t = 1,729

Foutmarge

E = 1,729·15/√20 = 5,799

Interval

117,5 ± 5,799 → [111,7, 123,3]

Antwoord

bovengrens = 123,3

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 267

n oplossen

n = (2,576·19/3)² = 266,2

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 267

Antwoord

n = 267

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −1,179

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Gepoolde variantie

s_p² = (6·2,5² + 4·4²)/10 = 10,15

s_p = 3,186

Standaardfout

SE = 3,186·√(1/7 + 1/5) = 1,865

Toetsingsgrootheid

t = (80 − 82,2)/1,865 = −1,179

Antwoord

t = −1,179

Bij df = 10 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,228; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: β = 12,02 %

Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritiek steekproefgemiddelde

SE = 15/√25 = 3

x̄_c = 200 − 2,326·3 = 193

z onder het ware gemiddelde

z = (193 − 189,5)/3 = 1,174

Fout van de tweede soort

onderscheidend vermogen = P(Z < 1.174) = 87.98%

β = 100% − 87,98% = 12,02%

Antwoord

β = 12,02%

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,9741

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 116/6 = 19,33

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 49,33

Determinatiecoëfficiënt

r² = −29²/(17,5·49,33) = 0,9741

Antwoord

r² = 0,9741

Ongeveer 97,41% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = −5,333

Gemiddelden

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 302/6 = 50,33

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 105

Regressielijn

b = 105/17,5 = 6

a = 50,33 − 6·4,5 = 23,33

ŷ = 23,33 + 6·x

Voorspelde waarde

ŷ = 23,33 + 6·3,5 = 44,33

Residu

e = 39 − 44,33 = −5,333

Antwoord

e = −5,333

Het punt ligt onder de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1