Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 48, 33, 29, 50, 22, 33, 44.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 12. Welk deel P van de waarden ligt boven 40,4?

μ = 50σ = 12x = 40,4

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,3, 0,05, 0,25, 0,3

Var(X) =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 12 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,6. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 12p = 0,6

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

X is normaal verdeeld met gemiddelde 12 min en standaardafwijking 1,5 min; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 20 min en standaardafwijking 2 min. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 33,3 min. Rond z af op twee decimalen.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 33,3 min

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,03 mm en standaardafwijking 0,015 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,01 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.

gat: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 50 telefoons, gemiddelde 56,5 h, bekende standaardafwijking 11 h. Model 2: 50 telefoons, gemiddelde 67,5 h, bekende standaardafwijking 16 h. Bereken de foutmarge E van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 56,5 hσ₁ = 11 hn₂ = 50x̄₂ = 67,5 hσ₂ = 16 h99%

E = h

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 17. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2,5 heeft?

σ = 17E = 2,595%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 8 studenten, gemiddelde score 39,5, standaardafwijking 7. Groep 2: 8 studenten, gemiddelde score 50,9, standaardafwijking 11,5. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).

n₁ = 8x̄₁ = 39,5s₁ = 7n₂ = 8x̄₂ = 50,9s₂ = 11,5

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

In een onderzoek herstellen 70 van de 100 patiënten met behandeling A en 137 van de 250 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 70n₁ = 100x₂ = 137n₂ = 250

z =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 5

r² =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 36?

n = 5ŷ = 36

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 10,49

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 259/7 = 37

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 11² + (−4)² + (−8)² + 13² + (−15)² + (−4)² + 7² = 660

Standaardafwijking

s = √(660/6) = 10,49

Antwoord

s = 10,49

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,7881

Standaardiseren

z = −0,8

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Antwoord

P = 0,7881

3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 2,027

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 1·0,1 + 2·0,3 + 3·0,05 + 4·0,25 + 5·0,3 = 3,35

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,3 + 9·0,05 + 16·0,25 + 25·0,3 = 13,25

Variantie

Var(X) = 13,25 − 3,35² = 2,027

Antwoord

Var(X) = 2,027

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,0003188

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,4¹² = 1,678 × 10⁻⁵

P(X = 1) = 12·0,6·0,4¹¹ = 0,000302

Tel ze op

P = 1,678 × 10⁻⁵ + 0,000302 = 0,0003188

Antwoord

P = 0,0003188

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,3015

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van de som

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Standaardiseren

z = (33,3 − 32)/2,5 = 0,52

Rechterstaart

P = 1 − Φ(0,52) = 1 − 0,6985 = 0,3015

Antwoord

P = 0,3015

6.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,9515

Verdeling van het verschil

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01803 mm

Standaardiseren

z = (0 − 0,03)/0,01803 = −1,66

Kansrekening

P = 1 − Φ(−1,66) = 0,9515

Antwoord

P = 0,9515

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 7,073 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Puntschatting

x̄₁ − x̄₂ = 56,5 − 67,5 = −11

Standaardfout

SE = √(11²/50 + 16²/50) = 2,746

Foutmarge

E = 2,576·2,746 = 7,073

Antwoord

E = 7,073 h

Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 178

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (1,96·17/2,5)² = 177,6

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 178

Antwoord

n = 178

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −2,395

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Gepoolde variantie

s_p² = (7·7² + 7·11,5²)/14 = 90,63

s_p = 9,52

Standaardfout

SE = 9,52·√(1/8 + 1/8) = 4,76

Toetsingsgrootheid

t = (39,5 − 50,9)/4,76 = −2,395

Antwoord

t = −2,395

Bij df = 14 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,145; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = 2,613

Steekproeffracties

p̂₁ = 70/100 = 0,7

p̂₂ = 137/250 = 0,548

p̂ = 207/350 = 0,5914

Standaardfout onder H₀

SE = √(0,5914·0,4086·(1/100 + 1/250)) = 0,05816

Toetsingsgrootheid

z = (0,7 − 0,548)/0,05816 = 2,613

Antwoord

z = 2,613

|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,9971

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 109/5 = 21,8

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 410,8

Determinatiecoëfficiënt

r² = 128²/(40·410,8) = 0,9971

Antwoord

r² = 0,9971

Ongeveer 99,71% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 3,881

Gemiddelden

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 226/5 = 45,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118

Regressielijn

b = 118/40 = 2,95

a = 45,2 − 2,95·7 = 24,55

ŷ = 24,55 + 2,95·x

Los op naar x

x = (36 − 24,55)/2,95 = 3,881

Antwoord

x = 3,881

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1