Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 51, 20, 39, 23, 10, 51.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 8. Bereken de z-score z van een score van 74,8.

μ = 70σ = 8x = 74,8

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Er wordt 6 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?

n = 6

P =

4.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 8 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,3. Wat is de kans P op precies 1 goede antwoorden?

n = 8p = 0,3k = 1

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,0207 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,0207

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 20% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 178 cmσ = 7 cm20%

x = cm

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 100 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 3,7. Wat is de foutmarge E₂ van een 99%-interval uit dezelfde data?

95%n₁ = 100E₁ = 3,799%

E₂ =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 13. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2 heeft?

σ = 13E = 295%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 80 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 10. Een aselecte steekproef van 100 waarnemingen heeft een gemiddelde van 82,2. Toets H₀: μ = 80 tegen H₁: μ ≠ 80. Bereken de p-waarde p.

μ₀ = 80σ = 10n = 100x̄ = 82,2H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 64 metingen heeft gemiddelde 76,3. De standaardafwijking van de populatie is 15. Bereken de ondergrens L van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 76,3σ = 15n = 6490%

L =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 36?

n = 5ŷ = 36

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 17,2

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 194/6 = 32,33

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 18,67² + (−12,33)² + 6,667² + (−9,333)² + (−22,33)² + 18,67² = 1479

Standaardafwijking

s = √(1479/5) = 17,2

Antwoord

s = 17,2

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 0,6

Standaardiseren

z = (74,8 − 70)/8 = 0,6

Antwoord

z = 0,6

3.Kansrekening

Antwoord: P = 0,6651

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complement

P(geen zes) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Antwoord

P = 0,6651

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,1977

Binomiale formule

P(X = 1) = 8·0,3¹·0,7⁷ = 8·0,3·0,08235 = 0,1977

Antwoord

P = 0,1977

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 2,04

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,0207 = 0,9793

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,9793 in de tabel en lees z af.

z = 2,04

Antwoord

z = 2,04

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 183,9 cm

Oppervlak links

Φ(z) = 0,8

z uit de tabel

z ≈ 0,84

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 178 + 0,84·7 = 183,9 cm

Antwoord

x = 183,9 cm

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E₂ = 4,863

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Verhouding van de marges

E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(100/100) = 1,314

Nieuwe marge

E₂ = 3,7·1,314 = 4,863

Antwoord

E₂ = 4,863

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 163

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (1,96·13/2)² = 162,3

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 163

Antwoord

n = 163

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: p = 0,02781

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Toetsingsgrootheid

SE = σ/√n = 10/√100 = 1

z = (82,2 − 80)/1 = 2,2

Staartoppervlakte

Φ(2,2) = 0,9861

1 − Φ(2,2) = 0,0139

p-waarde

p = 2·0,0139 = 0,02781

Antwoord

p = 0,02781

p ≤ 0,05, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: L = 73,22

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Foutmarge

E = 1,645·15/√64 = 3,084

Intervalgrens

L = 76,3 − 3,084 = 73,22

Antwoord

L = 73,22

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9838

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 67/5 = 13,4

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 76

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 149,2

Correlatiecoëfficiënt

r = 76/√(40·149,2) = 0,9838

Antwoord

r = 0,9838

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 4,421

Gemiddelden

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 176/5 = 35,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 19

Regressielijn

b = 19/10 = 1,9

a = 35,2 − 1,9·4 = 27,6

ŷ = 27,6 + 1,9·x

Los op naar x

x = (36 − 27,6)/1,9 = 4,421

Antwoord

x = 4,421

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1