Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 44, 28, 59, 14, 60, 19.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 15. Bereken de z-score z van een score van 158.

μ = 170σ = 15x = 158

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,35, 0,3, 0,1

Var(X) =

4.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 10X + 4. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,1, 0,05, 0,3, 0,35Y = 10X + 4

σ_Y =

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,0239 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,0239

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Bereken de waarde x waaronder 97,5% ervan ligt (het 97,5e percentiel).

μ = 178σ = 7P = 97,5%

x = cm

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 25 items heeft gemiddelde 39,5 en standaardafwijking s = 9,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 25x̄ = 39,5s = 9,595%t(24) = 2,064

E =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 5 proefvelden, gemiddelde opbrengst 70 kg, standaardafwijking 2 kg. Groep 2: 12 proefvelden, gemiddelde 73,5 kg, standaardafwijking 6,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 70s₁ = 2n₂ = 12x̄₂ = 73,5s₂ = 6,595%t(15) = 2,131

ondergrens = kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 49 studenten heeft een gemiddelde score van 95,54 en een steekproefstandaardafwijking van 12. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 95,54s = 12n = 49

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

In een onderzoek herstellen 75 van de 250 patiënten met behandeling A en 114 van de 300 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 75n₁ = 250x₂ = 114n₂ = 300

z =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 30Σy = 247Σx² = 220Σy² = 12667Σxy = 1616

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 22?

n = 5ŷ = 22

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 19,98

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 224/6 = 37,33

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 6,667² + (−9,333)² + 21,67² + (−23,33)² + 22,67² + (−18,33)² = 1995

Standaardafwijking

s = √(1995/5) = 19,98

Antwoord

s = 19,98

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = −0,8

Standaardiseren

z = (158 − 170)/15 = −0,8

Antwoord

z = −0,8

3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 0,8875

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,25 + 1·0,35 + 2·0,3 + 3·0,1 = 1,25

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,35 + 4·0,3 + 9·0,1 = 2,45

Variantie

Var(X) = 2,45 − 1,25² = 0,8875

Antwoord

Var(X) = 0,8875

4.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 15,33

Spreiding van X

μ = 3,5, Var(X) = 2,35, σ_X = 1,533

Lineaire transformatie

σ_Y = |10|·1,533 = 15,33

Antwoord

σ_Y = 15,33

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 10·3,5 + 4 = 39.

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 1,98

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,0239 = 0,9761

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,9761 in de tabel en lees z af.

z = 1,98

Antwoord

z = 1,98

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 191,7 cm

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Terug naar x

x = 178 + 1,96·7 = 191,72 cm

Antwoord

x = 191,72 cm

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 3,922

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 24, t = 2,064

Foutmarge

E = 2,064·9,5/√25 = 3,922

Antwoord

E = 3,922

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = −9,922 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (4·2² + 11·6,5²)/15 = 32,05

s_p = 5,661

Foutmarge

E = 2,131·5,661·√(1/5 + 1/12) = 6,422

Interval

−3,5 ± 6,422 → [−9,922, 2,922]

Antwoord

ondergrens = −9,922 kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −2,602

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714

Toetsingsgrootheid

t = (95,54 − 100)/1,714 = −2,602

Antwoord

t = −2,602

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = −1,967

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Steekproeffracties

p̂₁ = 75/250 = 0,3

p̂₂ = 114/300 = 0,38

p̂ = 189/550 = 0,3436

Standaardfout onder H₀

SE = √(0,3436·0,6564·(1/250 + 1/300)) = 0,04067

Toetsingsgrootheid

z = (0,3 − 0,38)/0,04067 = −1,967

Antwoord

z = −1,967

|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9823

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 1616 − 30·247/5 = 134

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 12667 − 247²/5 = 465,2

Correlatiecoëfficiënt

r = 134/√(40·465,2) = 0,9823

Antwoord

r = 0,9823

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 1,621

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 90/5 = 18

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

Regressielijn

b = −29/10 = −2,9

a = 18 − (−2,9)·3 = 26,7

ŷ = 26,7 − 2,9·x

Los op naar x

x = (22 − 26,7)/(−2,9) = 1,621

Antwoord

x = 1,621

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1