Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 38, 53, 26, 55, 21, 29.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt boven 80?

μ = 60σ = 20x = 80

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 4 personen kiezen uit een groep van 8? De volgorde doet er niet toe.

n = 8k = 4

N =

4.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 5X − 3. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,3, 0,2, 0,15Y = 5X − 3

σ_Y =

5.Normale verdelingGemiddeld

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Welk deel ligt tussen 244,25 en 260,25 g? Geef P als decimaal getal.

μ = 250σ = 5x₁ = 244,25x₂ = 260,25

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 40% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 100 puntenσ = 15 punten40%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 50 telefoons, gemiddelde 69,5 h, bekende standaardafwijking 8 h. Model 2: 50 telefoons, gemiddelde 72,5 h, bekende standaardafwijking 20 h. Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 69,5 hσ₁ = 8 hn₂ = 50x̄₂ = 72,5 hσ₂ = 20 h90%

bovengrens = h

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 16. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2,5 heeft?

σ = 16E = 2,599%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 25 studenten heeft een gemiddelde score van 51,2 en een steekproefstandaardafwijking van 5. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 51,2s = 5n = 25

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

In een onderzoek herstellen 38 van de 150 patiënten met behandeling A en 60 van de 200 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 38n₁ = 150x₂ = 60n₂ = 200

z =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (5, 68) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(5, 68)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 14,3

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 222/6 = 37

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 1² + 16² + (−11)² + 18² + (−16)² + (−8)² = 1022

Standaardafwijking

s = √(1022/5) = 14,3

Antwoord

s = 14,3

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,1587

Standaardiseren

z = 1

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Antwoord

P = 0,1587

3.Kansrekening

Antwoord: N = 70

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(8, 4) = (8·7·6·5)/(4·3·2·1) = 70

Antwoord

N = 70

4.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 10,62

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Spreiding van X

μ = 2,3, Var(X) = 4,51, σ_X = 2,124

Lineaire transformatie

σ_Y = |5|·2,124 = 10,62

Antwoord

σ_Y = 10,62

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 5·2,3 − 3 = 8,5.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,8547

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (244,25 − 250)/5 = −1,15

z₂ = (260,25 − 250)/5 = 2,05

Oppervlakte ertussen

P = Φ(2,05) − Φ(−1,15) = 0,9798 − 0,1251 = 0,8547

Antwoord

P = 0,8547

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 96,3 punten

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,4

z uit de tabel

z ≈ −0,25

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 100 − 0,25·15 = 96,3 punten

Antwoord

x = 96,3 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 2,011 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Puntschatting

x̄₁ − x̄₂ = 69,5 − 72,5 = −3

Standaardfout

SE = √(8²/50 + 20²/50) = 3,046

Foutmarge

E = 1,645·3,046 = 5,011

Interval

−3 ± 5,011 → [−8,011, 2,011]

Antwoord

bovengrens = 2,011 h

Het interval bevat 0, dus de data laten geen significant verschil zien.

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 272

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (2,576·16/2,5)² = 271,8

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 272

Antwoord

n = 272

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 1,2

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

Toetsingsgrootheid

t = (51,2 − 50)/1 = 1,2

Antwoord

t = 1,2

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = −0,9623

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Steekproeffracties

p̂₁ = 38/150 = 0,2533

p̂₂ = 60/200 = 0,3

p̂ = 98/350 = 0,28

Standaardfout onder H₀

SE = √(0,28·0,72·(1/150 + 1/200)) = 0,0485

Toetsingsgrootheid

z = (0,2533 − 0,3)/0,0485 = −0,9623

Antwoord

z = −0,9623

|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9869

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 455/6 = 75,83

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 455

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3037

Correlatiecoëfficiënt

r = 455/√(70·3037) = 0,9869

Antwoord

r = 0,9869

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 3,55

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 335/5 = 67

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 102

Regressielijn

b = 102/40 = 2,55

a = 67 − 2,55·6 = 51,7

ŷ = 51,7 + 2,55·x

Voorspelde waarde

ŷ = 51,7 + 2,55·5 = 64,45

Residu

e = 68 − 64,45 = 3,55

Antwoord

e = 3,55

Het punt ligt boven de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1