Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 32, 40, 42, 42, 24, 16.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 20. Bereken de z-score z van een score van 40.

μ = 50σ = 20x = 40

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,35, 0,05, 0,25, 0,25, 0,1

σ =

4.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 5X − 3. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,1, 0,2, 0,2, 0,2Y = 5X − 3

σ_Y =

5.Normale verdelingGemiddeld

De massa's van zakken cement zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 kg en standaardafwijking 0,5 kg. Bepaal de kans P dat de totale massa van 6 ervan kleiner is dan 151,8 kg. Rond z af op twee decimalen.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 6< 151.8 kg

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De massa X van een product van lijn 1 en Y van lijn 2 zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 500 g en standaardafwijking 8 g, Y heeft gemiddelde 490 g en standaardafwijking 6 g. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 64 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 5,3. Wat is de foutmarge E₂ als hetzelfde onderzoek in plaats daarvan 576 waarnemingen gebruikt?

95%n₁ = 64E₁ = 5,3n₂ = 576

E₂ =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 37. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1,5 heeft?

σ = 37E = 1,599%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 14 studenten, gemiddelde score 101,5, standaardafwijking 3. Groep 2: 12 studenten, gemiddelde score 99,2, standaardafwijking 3,5. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).

n₁ = 14x̄₁ = 101,5s₁ = 3n₂ = 12x̄₂ = 99,2s₂ = 3,5

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 25 metingen heeft gemiddelde 79,8. De standaardafwijking van de populatie is 12. Bereken de ondergrens L van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 79,8σ = 12n = 2595%

L =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 6

r² =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 26,5.

n = 6x = 26,5

ŷ =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 10,78

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 196/6 = 32,67

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−0,6667)² + 7,333² + 9,333² + 9,333² + (−8,667)² + (−16,67)² = 581,3

Standaardafwijking

s = √(581,3/5) = 10,78

Antwoord

s = 10,78

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = −0,5

Standaardiseren

z = (40 − 50)/20 = −0,5

Antwoord

z = −0,5

3.Kansrekening

Antwoord: σ = 1,418

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 1·0,35 + 2·0,05 + 3·0,25 + 4·0,25 + 5·0,1 = 2,7

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,05 + 9·0,25 + 16·0,25 + 25·0,1 = 9,3

Variantie

Var(X) = 9,3 − 2,7² = 2,01

σ = √2,01 = 1,418

Antwoord

σ = 1,418

4.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 7,566

Spreiding van X

μ = 1,9, Var(X) = 2,29, σ_X = 1,513

Lineaire transformatie

σ_Y = |5|·1,513 = 7,566

Antwoord

σ_Y = 7,566

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 5·1,9 − 3 = 6,5.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,9292

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het totaal

μ_T = 150 kg, σ_T = 0,5·√6 = 1,225 kg

Standaardiseren

z = (151,8 − 150)/1,225 = 1,47

Kansrekening

P = Φ(1,47) = 0,9292

Antwoord

P = 0,9292

6.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,8413

Verdeling van het verschil

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Standaardiseren

z = (0 − 10)/10 = −1

Kansrekening

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Antwoord

P = 0,8413

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E₂ = 1,767

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Verhouding van de marges

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(64/576) = 0,3333

Nieuwe marge

E₂ = 5,3·0,3333 = 1,767

Antwoord

E₂ = 1,767

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 4038

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (2,576·37/1,5)² = 4038

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 4038

Antwoord

n = 4038

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 1,805

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Gepoolde variantie

s_p² = (13·3² + 11·3,5²)/24 = 10,49

s_p = 3,239

Standaardfout

SE = 3,239·√(1/14 + 1/12) = 1,274

Toetsingsgrootheid

t = (101,5 − 99,2)/1,274 = 1,805

Antwoord

t = 1,805

Bij df = 24 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,064; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: L = 75,1

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Foutmarge

E = 1,96·12/√25 = 4,704

Intervalgrens

L = 79,8 − 4,704 = 75,1

Antwoord

L = 75,1

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,9592

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 340/6 = 56,67

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 88

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 461,3

Determinatiecoëfficiënt

r² = 88²/(17,5·461,3) = 0,9592

Antwoord

r² = 0,9592

Ongeveer 95,92% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 120,7

Gemiddelden

x̄ = 141/6 = 23,5

ȳ = 645/6 = 107,5

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 691,5

Regressielijn

b = 691,5/157,5 = 4,39

a = 107,5 − 4,39·23,5 = 4,324

ŷ = 4,324 + 4,39·x

Voorspelling

ŷ = 4,324 + 4,39·26,5 = 120,7

Antwoord

ŷ = 120,7

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1