Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 55, 48, 20, 11, 41, 37.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 8. Welk deel P van de waarden ligt boven 154?

μ = 170σ = 8x = 154

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,15, 0,2, 0,15, 0,35

σ =

4.KansrekeningMoeilijk

Een spel kost €5 inzet. Je wint €20 met kans 0,2 en €50 met kans 0,01; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €5€20: p = 0,2€50: p = 0,01

E(G) = €

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,0838 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,0838

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 10% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 65 puntenσ = 10 punten10%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 100 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 5,9. Wat is de foutmarge E₂ van een 90%-interval gebaseerd op 900 waarnemingen?

99%n₁ = 100E₁ = 5,990%n₂ = 900

E₂ =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 35. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft?

σ = 35E = 399%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 6 studenten, gemiddelde score 107,5, standaardafwijking 5,5. Groep 2: 10 studenten, gemiddelde score 100,4, standaardafwijking 4,5. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).

n₁ = 6x̄₁ = 107,5s₁ = 5,5n₂ = 10x̄₂ = 100,4s₂ = 4,5

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

In een onderzoek herstellen 40 van de 200 patiënten met behandeling A en 14 van de 100 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 40n₁ = 200x₂ = 14n₂ = 100

z =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 30Σy = 126Σx² = 220Σy² = 3874Σxy = 922

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (22, 80) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(22, 80)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 16,79

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 212/6 = 35,33

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 19,67² + 12,67² + (−15,33)² + (−24,33)² + 5,667² + 1,667² = 1409

Standaardafwijking

s = √(1409/5) = 16,79

Antwoord

s = 16,79

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,9772

Standaardiseren

z = −2

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Antwoord

P = 0,9772

3.Kansrekening

Antwoord: σ = 1,463

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,15 + 1·0,15 + 2·0,2 + 3·0,15 + 4·0,35 = 2,4

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,15 + 1·0,15 + 4·0,2 + 9·0,15 + 16·0,35 = 7,9

Variantie

Var(X) = 7,9 − 2,4² = 2,14

σ = √2,14 = 1,463

Antwoord

σ = 1,463

4.Kansrekening

Antwoord: E(G) = −0,5 €

Netto-uitkomsten

G: 15 (p = 0,2), 45 (p = 0,01), −5 (p = 0,79)

Verwachtingswaarde

E(G) = 15·0,2 + 45·0,01 − 5·0,79 = −0,5 €

Antwoord

E(G) = −0,5 €

Een negatieve waarde betekent dat je gemiddeld geld verliest.

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 1,38

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,0838 = 0,9162

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,9162 in de tabel en lees z af.

z = 1,38

Antwoord

z = 1,38

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 77,8 punten

Oppervlak links

Φ(z) = 0,9

z uit de tabel

z ≈ 1,28

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 65 + 1,28·10 = 77,8 punten

Antwoord

x = 77,8 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E₂ = 1,256

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Verhouding van de marges

E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(100/900) = 0,2129

Nieuwe marge

E₂ = 5,9·0,2129 = 1,256

Antwoord

E₂ = 1,256

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 904

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (2,576·35/3)² = 903,2

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 904

Antwoord

n = 904

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 2,817

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Gepoolde variantie

s_p² = (5·5,5² + 9·4,5²)/14 = 23,82

s_p = 4,881

Standaardfout

SE = 4,881·√(1/6 + 1/10) = 2,52

Toetsingsgrootheid

t = (107,5 − 100,4)/2,52 = 2,817

Antwoord

t = 2,817

Bij df = 14 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,145; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = 1,275

Steekproeffracties

p̂₁ = 40/200 = 0,2

p̂₂ = 14/100 = 0,14

p̂ = 54/300 = 0,18

Standaardfout onder H₀

SE = √(0,18·0,82·(1/200 + 1/100)) = 0,04705

Toetsingsgrootheid

z = (0,2 − 0,14)/0,04705 = 1,275

Antwoord

z = 1,275

|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9929

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 922 − 30·126/5 = 166

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 3874 − 126²/5 = 698,8

Correlatiecoëfficiënt

r = 166/√(40·698,8) = 0,9929

Antwoord

r = 0,9929

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 1,8

Gemiddelden

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 374/5 = 74,8

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 136

Regressielijn

b = 136/40 = 3,4

a = 74,8 − 3,4·21 = 3,4

ŷ = 3,4 + 3,4·x

Voorspelde waarde

ŷ = 3,4 + 3,4·22 = 78,2

Residu

e = 80 − 78,2 = 1,8

Antwoord

e = 1,8

Het punt ligt boven de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1