Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 47, 42, 52, 32, 47, 54.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 15. Welk deel P van de waarden ligt boven 79?

μ = 70σ = 15x = 79

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,25, 0,25, 0,25

σ =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 12 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,2. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 12p = 0,2

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,6179 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,6179

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 30% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 65 puntenσ = 10 punten30%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 20 items heeft gemiddelde 57 en standaardafwijking s = 6. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 20x̄ = 57s = 695%t(19) = 2,093

ondergrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 7 proefvelden, gemiddelde opbrengst 27,5 kg, standaardafwijking 8 kg. Groep 2: 7 proefvelden, gemiddelde 32 kg, standaardafwijking 8,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de foutmarge E van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 27,5s₁ = 8n₂ = 7x̄₂ = 32s₂ = 8,599%t(12) = 3,055

E = kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 36 studenten heeft een gemiddelde score van 204 en een steekproefstandaardafwijking van 10. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 204s = 10n = 36

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

In een onderzoek herstellen 20 van de 80 patiënten met behandeling A en 32 van de 100 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 20n₁ = 80x₂ = 32n₂ = 100

z =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 4,5.

n = 5x = 4,5

ŷ =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 7,916

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 274/6 = 45,67

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 1,333² + (−3,667)² + 6,333² + (−13,67)² + 1,333² + 8,333² = 313,3

Standaardafwijking

s = √(313,3/5) = 7,916

Antwoord

s = 7,916

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,2743

Standaardiseren

z = 0,6

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Antwoord

P = 0,2743

3.Kansrekening

Antwoord: σ = 2,236

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,25 + 2·0,25 + 4·0,25 + 6·0,25 = 3

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,25 + 4·0,25 + 16·0,25 + 36·0,25 = 14

Variantie

Var(X) = 14 − 3² = 5

σ = √5 = 2,236

Antwoord

σ = 2,236

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,2749

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,8¹² = 0,06872

P(X = 1) = 12·0,2·0,8¹¹ = 0,2062

Tel ze op

P = 0,06872 + 0,2062 = 0,2749

Antwoord

P = 0,2749

5.Normale verdeling

Antwoord: z = −0,3

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,6179 = 0,3821

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,3821 in de tabel en lees z af.

z = −0,30

Antwoord

z = −0,30

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 70,2 punten

Oppervlak links

Φ(z) = 0,7

z uit de tabel

z ≈ 0,52

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 65 + 0,52·10 = 70,2 punten

Antwoord

x = 70,2 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 54,19

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 19, t = 2,093

Foutmarge

E = 2,093·6/√20 = 2,808

Interval

57 ± 2,808 → [54,19, 59,81]

Antwoord

ondergrens = 54,19

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 13,48 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (6·8² + 6·8,5²)/12 = 68,13

s_p = 8,254

Foutmarge

E = 3,055·8,254·√(1/7 + 1/7) = 13,48

Antwoord

E = 13,48 kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 2,4

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667

Toetsingsgrootheid

t = (204 − 200)/1,667 = 2,4

Antwoord

t = 2,4

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = −1,03

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Steekproeffracties

p̂₁ = 20/80 = 0,25

p̂₂ = 32/100 = 0,32

p̂ = 52/180 = 0,2889

Standaardfout onder H₀

SE = √(0,2889·0,7111·(1/80 + 1/100)) = 0,06799

Toetsingsgrootheid

z = (0,25 − 0,32)/0,06799 = −1,03

Antwoord

z = −1,03

|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9934

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 290/5 = 58

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 226

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1294

Correlatiecoëfficiënt

r = 226/√(40·1294) = 0,9934

Antwoord

r = 0,9934

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 14,2

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 89/5 = 17,8

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24

Regressielijn

b = −24/10 = −2,4

a = 17,8 − (−2,4)·3 = 25

ŷ = 25 − 2,4·x

Voorspelling

ŷ = 25 + (−2,4)·4,5 = 14,2

Antwoord

ŷ = 14,2

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1