Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 56, 29, 14, 57, 24, 29.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 20. Bereken de z-score z van een score van 40.

μ = 50σ = 20x = 40

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,3, 0,15, 0,3

Var(X) =

4.KansrekeningMoeilijk

Een spel kost €10 inzet. Je wint €40 met kans 0,25 en €200 met kans 0,02; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €10€40: p = 0,25€200: p = 0,02

E(G) = €

5.Normale verdelingGemiddeld

De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Welk deel ligt tussen 23,3 en 44 min? Geef P als decimaal getal.

μ = 32σ = 6x₁ = 23,3x₂ = 44

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Bereken de waarde x waaronder 99% ervan ligt (het 99e percentiel).

μ = 500σ = 40P = 99%

x = h

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 15 items heeft gemiddelde 99,5 en standaardafwijking s = 11. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 15x̄ = 99,5s = 1195%t(14) = 2,145

ondergrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een vooronderzoek wijst erop dat ongeveer 0,7 van de producten defect is. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,025 heeft?

p ≈ 0,7E = 0,02590%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 100 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 12,5. Een aselecte steekproef van 25 waarnemingen heeft een gemiddelde van 95,9. Toets H₀: μ = 100 tegen H₁: μ ≠ 100. Bereken de p-waarde p.

μ₀ = 100σ = 12,5n = 25x̄ = 95,9H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 16 metingen heeft gemiddelde 123,6. De standaardafwijking van de populatie is 5. Bereken de ondergrens L van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 123,6σ = 5n = 1695%

L =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 30Σy = 117Σx² = 220Σy² = 3267Σxy = 846

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 21.

n = 5x = 21

ŷ =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 17,66

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 209/6 = 34,83

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 21,17² + (−5,833)² + (−20,83)² + 22,17² + (−10,83)² + (−5,833)² = 1559

Standaardafwijking

s = √(1559/5) = 17,66

Antwoord

s = 17,66

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = −0,5

Standaardiseren

z = (40 − 50)/20 = −0,5

Antwoord

z = −0,5

3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 1,35

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,25 + 1·0,3 + 2·0,15 + 3·0,3 = 1,5

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,3 + 4·0,15 + 9·0,3 = 3,6

Variantie

Var(X) = 3,6 − 1,5² = 1,35

Antwoord

Var(X) = 1,35

4.Kansrekening

Antwoord: E(G) = 4 €

Netto-uitkomsten

G: 30 (p = 0,25), 190 (p = 0,02), −10 (p = 0,73)

Verwachtingswaarde

E(G) = 30·0,25 + 190·0,02 − 10·0,73 = 4 €

Antwoord

E(G) = 4 €

Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,9037

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (23,3 − 32)/6 = −1,45

z₂ = (44 − 32)/6 = 2

Oppervlakte ertussen

P = Φ(2) − Φ(−1,45) = 0,9772 − 0,07353 = 0,9037

Antwoord

P = 0,9037

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 593,1 h

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Terug naar x

x = 500 + 2,326·40 = 593,05 h

Antwoord

x = 593,05 h

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 93,41

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 14, t = 2,145

Foutmarge

E = 2,145·11/√15 = 6,092

Interval

99,5 ± 6,092 → [93,41, 105,6]

Antwoord

ondergrens = 93,41

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 910

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n oplossen

n = 1,645²·0,7·0,3/0,025² = 909,2

Naar boven afronden

n = 910

Antwoord

n = 910

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: p = 0,101

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Toetsingsgrootheid

SE = σ/√n = 12,5/√25 = 2,5

z = (95,9 − 100)/2,5 = −1,64

Staartoppervlakte

Φ(1,64) = 0,9495

1 − Φ(1,64) = 0,0505

p-waarde

p = 2·0,0505 = 0,101

Antwoord

p = 0,101

p > 0,05, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: L = 121,1

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Foutmarge

E = 1,96·5/√16 = 2,45

Intervalgrens

L = 123,6 − 2,45 = 121,1

Antwoord

L = 121,1

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9897

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 846 − 30·117/5 = 144

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 3267 − 117²/5 = 529,2

Correlatiecoëfficiënt

r = 144/√(40·529,2) = 0,9897

Antwoord

r = 0,9897

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 61,25

Gemiddelden

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 250/5 = 50

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 150

Regressielijn

b = 150/40 = 3,75

a = 50 − 3,75·18 = −17,5

ŷ = −17,5 + 3,75·x

Voorspelling

ŷ = −17,5 + 3,75·21 = 61,25

Antwoord

ŷ = 61,25

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1