Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 19, 43, 35, 30, 59.

n = 5

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 12. Welk deel P van de waarden ligt onder 188?

μ = 170σ = 12x = 188

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Er wordt 5 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?

n = 5

P =

4.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 5X − 3. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 5X − 3

σ_Y =

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,0681 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,0681

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Bereken de waarde x waaronder 80% ervan ligt (het 80e percentiel).

μ = 250σ = 5P = 80%

x = g

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 16 items heeft gemiddelde 21 en standaardafwijking s = 7. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 16x̄ = 21s = 790%t(15) = 1,753

ondergrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 30. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1,5 heeft?

σ = 30E = 1,590%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 30 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 74,5 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 8 mm. Lijn 2: een steekproef van 50 onderdelen heeft gemiddelde 66,9 mm, bekende standaardafwijking 17 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).

n₁ = 30x̄₁ = 74,5 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 50x̄₂ = 66,9 mmσ₂ = 17 mm

z =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 0,5 heeft? De standaardafwijking is 15. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 15E = 0,590%

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6Σx = 42Σy = 147Σx² = 364Σy² = 4315Σxy = 1252

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 13?

n = 5ŷ = 13

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 14,97

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 186/5 = 37,2

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−18,2)² + 5,8² + (−2,2)² + (−7,2)² + 21,8² = 896,8

Standaardafwijking

s = √(896,8/4) = 14,97

Antwoord

s = 14,97

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,9332

Standaardiseren

z = 1,5

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Antwoord

P = 0,9332

3.Kansrekening

Antwoord: P = 0,5981

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complement

P(geen zes) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Antwoord

P = 0,5981

4.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 4,183

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Spreiding van X

μ = 1, Var(X) = 0,7, σ_X = 0,8367

Lineaire transformatie

σ_Y = |5|·0,8367 = 4,183

Antwoord

σ_Y = 4,183

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 5·1 − 3 = 2.

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 1,49

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,0681 = 0,9319

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,9319 in de tabel en lees z af.

z = 1,49

Antwoord

z = 1,49

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 254,2 g

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Terug naar x

x = 250 + 0,8416·5 = 254,21 g

Antwoord

x = 254,21 g

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 17,93

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 15, t = 1,753

Foutmarge

E = 1,753·7/√16 = 3,068

Interval

21 ± 3,068 → [17,93, 24,07]

Antwoord

ondergrens = 17,93

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 1083

n oplossen

n = (1,645·30/1,5)² = 1082

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 1083

Antwoord

n = 1083

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = 2,702

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standaardfout van het verschil

SE = √(8²/30 + 17²/50) = √7,913 = 2,813

Toetsingsgrootheid

z = (74,5 − 66,9)/2,813 = 2,702

Antwoord

z = 2,702

|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 2436

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

n oplossen

n = (1,645·15/0,5)² = 2435

Naar boven afronden

n = 2436

Antwoord

n = 2436

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9978

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 1252 − 42·147/6 = 223

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 4315 − 147²/6 = 713,5

Correlatiecoëfficiënt

r = 223/√(70·713,5) = 0,9978

Antwoord

r = 0,9978

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 3,013

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 121/5 = 24,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 150

Regressielijn

b = 150/40 = 3,75

a = 24,2 − 3,75·6 = 1,7

ŷ = 1,7 + 3,75·x

Los op naar x

x = (13 − 1,7)/3,75 = 3,013

Antwoord

x = 3,013

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1