Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 60, 57, 58, 56, 31, 31, 22.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 10. Welk deel P van de waarden ligt boven 38?

μ = 50σ = 10x = 38

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Een zak bevat 7 rode en 9 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?

7 / 9

P =

4.KansrekeningMoeilijk

Een spel kost €3 inzet. Je wint €15 met kans 0,2 en €150 met kans 0,02; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €3€15: p = 0,2€150: p = 0,02

E(G) = €

5.Normale verdelingGemiddeld

De massa's van dozen zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 12 kg en standaardafwijking 0,8 kg. Bepaal de kans P dat de totale massa van 4 ervan kleiner is dan 45,6 kg. Rond z af op twee decimalen.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 4< 45.6 kg

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,02 mm en standaardafwijking 0,015 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,02 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.

gat: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De bloeddruk van 10 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 2,4 en standaardafwijking 4. Bereken de foutmarge E van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 10d̄ = 2,4s_d = 499%t(9) = 3,25

E = mmHg

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 24 proefvelden, gemiddelde opbrengst 25,5 kg, standaardafwijking 4 kg. Groep 2: 7 proefvelden, gemiddelde 31 kg, standaardafwijking 4,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de foutmarge E van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 24x̄₁ = 25,5s₁ = 4n₂ = 7x̄₂ = 31s₂ = 4,599%t(29) = 2,756

E = kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 81 studenten heeft een gemiddelde score van 73,44 en een steekproefstandaardafwijking van 10. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 73,44s = 10n = 81

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets bij α = 0,05 moet een verschuiving van het gemiddelde van 1,5 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 80 %. De standaardafwijking is 10. Bereken de minimale steekproefomvang n.

α = 0,05onderscheidend vermogen = 80%δ = 1,5σ = 10z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 6

r² =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 39?

n = 6ŷ = 39

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 16,23

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 315/7 = 45

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 15² + 12² + 13² + 11² + (−14)² + (−14)² + (−23)² = 1580

Standaardafwijking

s = √(1580/6) = 16,23

Antwoord

s = 16,23

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,8849

Standaardiseren

z = −1,2

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Antwoord

P = 0,8849

3.Kansrekening

Antwoord: P = 0,175

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Eerste en tweede trekking

P = 7/16 · 6/15 = 42/240 = 0,175

Antwoord

P = 0,175

4.Kansrekening

Antwoord: E(G) = 3 €

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Netto-uitkomsten

G: 12 (p = 0,2), 147 (p = 0,02), −3 (p = 0,78)

Verwachtingswaarde

E(G) = 12·0,2 + 147·0,02 − 3·0,78 = 3 €

Antwoord

E(G) = 3 €

Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,06681

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het totaal

μ_T = 48 kg, σ_T = 0,8·√4 = 1,6 kg

Standaardiseren

z = (45,6 − 48)/1,6 = −1,5

Kansrekening

P = Φ(−1,5) = 0,06681

Antwoord

P = 0,06681

6.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,7881

Verdeling van het verschil

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,025 mm

Standaardiseren

z = (0 − 0,02)/0,025 = −0,8

Kansrekening

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Antwoord

P = 0,7881

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 4,111 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 9, t = 3,25

Foutmarge

E = 3,25·4/√10 = 4,111

Antwoord

E = 4,111 mmHg

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 4,864 kg

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (23·4² + 6·4,5²)/29 = 16,88

s_p = 4,108

Foutmarge

E = 2,756·4,108·√(1/24 + 1/7) = 4,864

Antwoord

E = 4,864 kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −1,404

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111

Toetsingsgrootheid

t = (73,44 − 75)/1,111 = −1,404

Antwoord

t = −1,404

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 275

Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.

n oplossen

n = ((1,645 + 0,842)·10/1,5)² = 274,9

Naar boven afronden

n = 275

Antwoord

n = 275

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,9693

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 86/6 = 14,33

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 102

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 153,3

Determinatiecoëfficiënt

r² = 102²/(70·153,3) = 0,9693

Antwoord

r² = 0,9693

Ongeveer 96,93% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 8,556

Gemiddelden

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 228/6 = 38

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126

Regressielijn

b = 126/70 = 1,8

a = 38 − 1,8·8 = 23,6

ŷ = 23,6 + 1,8·x

Los op naar x

x = (39 − 23,6)/1,8 = 8,556

Antwoord

x = 8,556

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1